13. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ РАКЕТЫ С ЖИДКОСТНЫМ РАКЕТНЫМ ДВИГАТЕЛЕМ

Блок-схема показана на рис. 15. Система состоит из камеры сгорания (двигателя) 1, корпуса ракеты 2, магистрали горючего 3, магистрали окислителя 4. Продольные колебания корпуса ракеты вызывают колебания давления в баках и топливных магистралях и, следовательно, колебания подачи топлива в камеру сгорания. В камере возникают колебания давления, которые воздействуют на топливные магистрали и на корпус ракеты.

Номинальный (невозмущенный) режим работы системы — работа без колебаний. Однако при некоторых соотношениях параметров номинальный режим работы может стать неустойчивым, в системе будут нарастать колебания, которые вследствие существующих нелинейностей переходят в стационарный автоколебательный процесс. Автоколебания в замкнутой системе, показанной на рис. 15, называют продольными автоколебаниями ракеты. Они представляют собой низкочастотные (до 50-100 Гц) колебания.

При таком мощном источнике энергии, как ЖРД, автоколебания могут привести к возникновению больших динамических нагрузок в конструкции ракеты, которые вызывают повреждение оборудования и приборов. Может произойти также разрушение конструкции ракеты.

Рис. 15

Рис. 16

На основании анализа динамических свойств как отдельных частей, так и замкнутой системы в целом, требуется определять такие соотношения параметров, чтобы номинальный режим работы системы был всегда устойчивым.

Продольные колебания корпуса. Продольные колебания корпуса вызывают изменение давления жидкости в баках и как следствие — изменение диаметра бака и изменение прогиба его днища. Жидкость в баке относительно стенок перемещается в направлении оси ракеты. Для расчета собственных форм и частот продольных колебаний корпуса известны две основные расчетные схемы. Первая в виде пружинно-массовой модели, состоящей из элементов с сосредоточенными параметрами, вторая — в виде прямого неоднородного стержня.

В поперечных сеченнях стержня, где расположены силовые шпангоуты баков и двигателя, на оси стержня помещены механические осцилляторы. Эти осцилляторы при продольных колебаниях стержня имитируют осесимметричные колебания жидкости в упругих баках и механические колебания двигателя. Собственная частота колебаний осциллятора равна собственной частоте тона колебаний жидкости в упругом баке. Массу осциллятора выбирают такой, чтобы сумма масс всех осцилляторов была равна массе жидкости в баке.

В практических расчетах форм и частот низших тонов колебаний корпуса достаточно учитывать несколько первых тонов колебаний жидкости в баке, поэтому число осцилляторов может быть небольшим

В погонную массу стержня не включается масса двигателя, столба жидкости в топливных магистралях, жидкости в топливных баках, которая представляется в виде сосредоточенных масс на пружинах. Схема ракеты с двумя топливными баками показана на рис. 16, где двигатель представлен одним осциллятором.

Для определения собственных форм и частот колебаний нужно проинтегрировать уравнение

При интегрировании уравнения в сечениях, где подвешены механические осцилляторы, должны выполняться условия скачка осевой силы

где нормальная сила, приложенная к поперечному сечеиию через пружину осциллятора; число осцилляторов.

Так как все массы осцилляторов перемещаются с частотой колебаний корпуса , то сила

где значение коэффициента формы колебаний массы

здесь собственная частота колебаний осциллятора в баке; коэффициент собственной формы колебаний корпуса в сечении.

Рис. 17.

На рис. 17 показан график собственной формы четвертого тона колебаний неоднородного стержня, у которого в трех сечениях (11, 23, 25) подвешены механические осцилляторы.

Частота свободных колебаний корпуса может быть определена по формуле Рэлея

где

Дифференциальное уравнение вынужденных продольных упругих колебаний для обобщенной координаты имеет вид

где отклонение силы, обусловленной отклонением давления жидкости на входе в насос; отклонение тяги двигателя (положительным принято перемещение корпуса от вершины к хвостовой части); коэффициент собственной формы колебаний двигателя и насоса.

Колебания жидкости в топливных магистралях. Топливные магистрали, по которым жидкое топливо подается из баков к насосам, имеют большой диаметр и

малую толщину стенок Для компенсации изменения длины трубопроводов, устранения влияния перекосов в разных местах магистрали устанавливают сильфоны.

Важным фактором, определяющим значительную податливость столба жидкости в магистрали, является наличие парогазовой смеси, возникающей вследствие кавитации [28, 32] Кавитация особенно развита в струйных эжекторах и на входе в шнекоцентробежные насосы. При наличии парогаза на входе в насос столб жидкости в магистрали опирается на него как на пружину, вследствие чего частота собственных продольных колебаний жидкости значительно снижается.

При рассмотрении низших частот колебаний поток жидкости в трубе принимают одномерным и сжимаемым. Упругость стенок трубы учитывают введением эквивалентного модуля сжатия жидкости или эквивалентной скорости звука в жидкости, как это предложено . Жуковским,

где соответственно скорость звука и плотность жидкости в невозмущенном потоке; радиус и толщина стенки трубы; модуль упругости материала трубы.

Линеаризированные уравнения возмущенного движения и неразрывности жидкости в трубе можно представить в виде

где малые отклонения скорости и давления жидкости; кинематический коэффициент вязкости жидкости; скорость невозмущенного потока.

Граничные условия на концах трубы сводятся к линейным однородным соотношениям между переменными Комплексное число для граничного сечения обычно называют граничным импедансом. Вещественная часть этого числа характеризует «активное», а мнимая — «реактивное» сопротивления протеканию жидкости.

При для гармонических колебаний

Соотношения между параметрами потока в конце трубы и параметрами потока в начале трубы на основании (64) по аналогии со схемами, рассматриваемыми в электротехнике, можно представить в виде уравнений четырехполюсника:

где

Частоты собственных колебаний определяются из (65) с учетом граничных условий. Например, при (труба открыта с обоих концов) получим

Уравнения четырехполюсника (65) удобно представить в виде

где комплексные передаточные числа.

Одним концом труба соединяется с днищем бака, другим с насосом. Граничное условие при задается отклонением давления при выходе из бака. В первом приближении можно принять, что при гармонических колебаниях с частотой (о отклонение давления обусловлено инерцией столба жидкости в баке и импедансом выходного сечения

где высота столба жидкости в баке; и — некоторый безразмерный коэффициент, зависящий от формы колебаний дна; отклонение скорости потока при выходе из бака; импеданс выходного сечения.

Рис. 18

Если частоты свободных колебаний корпуса не близки и не близки также собственные частоты механических осцилляторов, то приближенно

При задается отклонение скорости потока, которое зависит от динамических свойств двигателя с насосом как нагрузочного агрегата для топливной магистрали:

где комплексное передаточное число двигателя с насосом как нагрузочного агрегата, полученное с учетом кавитационных явлений в насосе.

Динамические свойства ЖРД. ЖРД является самым сложным звеном замкнутой колебательной системы. Динамические свойства ЖРД изложены в ]. Отклонение тяги двигателя в общем виде можно выразить через комплексные передаточные числа

На основании уравнений (63), (66) — (69) блок-схема замкнутой системы с учетом одного компонента топлива представлена на рис. 18. Это грубая схема дает общее представление о взаимодействии колебаний отдельных звеньев системы. В схеме не учтено влияние сильфонов, поворотов потока и коллекторов, расходных шайб, изменение объема магистрали вследствие перемещения отдельных ее частей и др.

В замкнутой схеме имеются два последовательно соединенных колебательных звена — корпус и поток жидкости в топливной магистрали. Опасным в отношении потери устойчивости номинального режима является случай равенства или близости собственных частот этих звеньев. Частоты свободных колебаний корпуса изменяются в процессе полета, плавно возрастая по мере расхода топлива из баков, частоты колебаний жидкости в магистралях практически не изменяются. Особенно важно, чтобы частота свободных колебаний низшего тона корпуса не совпадала с низшей частотой свободных колебаний жидкости в длинной расходной магистрали. Для разнесения резонансных частот на топливных магистралях могут быть установлены гидравлические аккумуляторы. Известны и другие способы снижения собственной частоты жидкости в магистрали.