8. РАСЧЕТ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК
Предварительные замечания. При определении частот колебаний по теории стержней предполагается, что сечение лопатки при колебаниях не деформируется. Если длина и хорда лопатки соизмеримы, то проявляются «пластиночные» формы колебаний, при которых искажения профиля лопатки в плоскости поперечного сечения достигают значительной величины (рис. 14). Пластиночные формы характерны также для высокочастотных колебаний лопаток с большим удлинением, причем колебательные смещения возникают главным образом возле свободного конца лопатки. Узловые линии при некоторых пластиночных формах колебаний лопаток схематически показаны на рис. 15.
Рис. 14
Рис. 15
Обычно такие формы проявляются при частотах, превышающих частоту третьей изгибной и второй крутильной стержневых форм.
Методы расчета. Общий обзор методов расчета колебаний пластинок и оболочек Дан в работе [9]. В соответствии с принятой расчетной моделью рассматривается срединная поверхность лопатки. Если срединная поверхность близка к плоской, то используется теория пластинок, а при значительном искривлении срединной поверхности — теория оболочек.
Уравнение колебаний пластинки переменной толщины (рис. 16)
где 
амплитудный прогиб по нормали к срединной поверхности пластинки; 
- жесткость на изгиб, зависящая от толщины пластинки 
в данной точке срединной поверхности; 
коэффициент Пуассона; 
плотность материала пластинки; 
угловая частота колебаний.
Амплитудное значение потенциальной энергии деформации при колебаниях пластинки (переменной толщины)
где интеграл распространяется на всю площадь срединной поверхности пластинки.
Амплитудное значение кинетической энергии при колебаниях
Рис. 16
Метод Ритца [15] является наиболее распространенным инженерным методом определения частот и форм колебаний пластинок и оболочек.
Амплитудный прогиб пластинки представляется в виде
где 
заранее выбранные функции; 
неопределенные коэффициенты.
В работах [4, 5, 54], посвященных расчету колебаний лопаток на основе теории пластинок и оболочек, используются для 
«балочные» функции.
В качестве функции 
принимаются формы колебаний коисольно закрепленного стержня; для 
используются формы колебаний свободной от закрепления полоски профиля. Если внести выражение (92) в равенства (90) и (91), то 
Условие обращения в нуль детерминанта порядка 
образует уравнение для определения частот колебаний. В качестве функций 
можно использовать краевые полиномы, полиномы Лежандра и др.
Применение метода Ритца при расчете колебаний лопаток на основе теории оболочек. Принципиальные основы метода Ритца остаются прежними, но кроме прогиба по нормали 
аппроксимируются и смещения 
в касательной плоскости. Выражение для потенциальной энергии содержит члены, связанные с изгибом и растяжением срединной поверхности, для упрощения иногда принимаются некоторые дополнительные гипотезы (например, отсутствие сдвига в срединной поверхности). Расчет проводится на ЭВМ, причем при сохранении в уравнении (93) порядка 
удовлетворительная точность получается до частот 
Гц.
