5. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Коэффициенты уравнений возмущенного движения, полученных в п. 3 и 4, могут определяться как теоретически, так и экспериментально. Этим вопросам посвящена обширная литература [16, 20, 26, 27, 53, 54 и др.]. Ниже изложены теоретические методы, результаты которых хорошо согласуются с экспериментами, и общая идея экспериментальных методов [17, 18—21].

Цилиндрические отсеки с плоскими днищами; метод разделения переменных. Если ввести новые неизвестные функции связанные с уравнениями [8]

где координаты центра масс площади 2, то краевые задачи (16), (17) переходят в следующие:

где трехмерный и двухмерный операторы Лапласа; смоченная боковая поверхность отсека; координата нижнего днища координаты произвольно выбираемой точки контура

Решения краевых задач (54) — (57) могут быть получены методом разделения переменных и имеют вид

где

Параметры и функции являются собственными числами и собственными функциями следующей двухмерной краевой задачи:

Частоты собственных колебаний жидкости связаны с параметрами соотношением

Если функции являются точными решениями краевой задачи (60), то, используя вторую формулу Грина, свойства сопряженности функций на контуре и интегрирование по частям, можно привести выражения для коэффициентов к следующей эквивалентной форме:

Коэффициенты (62) связаны, как коэффициенты Фурье, следующими равенствами Парсеваля:

(см. скан)

площадь поперечного сечения столба жидкости).

Все они могут быть получены путем подстановки вместо рядов

и почленного интегрирования.

В дальнейшем рассматривается область обладающая по крайней мере одной осью симметрии (ось Безразмерные гидродинамические коэффициенты (48) могут быть определены по формулам

(см. скан)

где

(см. скан)

С — характерный размер).

1. Область S в форме прямоугольника Отсек соответствующей формы, по-видимому, впервые рассматривался в работе [33]. За характерный размер целесообразно принять Параметром задачи является Система функций распадается на следующие три ортогональные на области 5 подсистемы:

где

Коэффициенты определяются формулами

Для основного тона колебаний жидкости с получим

2. Область S в форме кругового кольца Соответствующие решения впервые получены в работах (28, 321. За характерный размер удобно принять Параметром задачи является В частном случае область является кругом; этому соответствует отсек в форме прямого кругового цилиндра. Собственные функции и собственные числа однородной краевой задачи (60), записанной в полярных координатах с учетом двусвязности области имеют вид

где корни трансцендентного уравнения,

функция Бесселя первого рода первого порядка; функция Неймана первого порядка.

Коэффициенты имеют вид

При

где йорни уравнения;

первые шесть из которых имеют следующие значения Теоретические значения коэффициентов, представленные на рис. 7, а, рассчитаны с использованием формул (64), (65), (73).

Цилиндрические отсеки; метод Бубнова — Галеркииа и конформного отображения. Пусть полная система линейно независимых координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям (60), и ортогональных константе на области Обычная процедура метода Бубнова—Галеркина приводит краевую задачу (60) к следующей интегральной форме:

где — двухмерный оператор Гамильтона,

Здесь неизвестные пока коэффициенты; произвольное значение индекса целое число.

Из (75), (76) следует матричное уравнение

где квадратные матрицы с элементами а — -мерный вектор с компонентами

В результате решения уравнения (77) получается совокупность 1 собственных Чисел X, которые всегда вещественны в силу симметричности матриц и соответствующих им собственных векторов а, определяемых с точностью до постоянного Множителя, зависящего от условий нормировки. При использовании функций (76) Для вычисления коэффициентов следует пользоваться формулами (59), а не (62), так как каждая из функций не удовлетворяет дифференциальному

Уравнению (60).

Диалогичным образом решается неоднородная краевая задача (55) (см. например 18, 12]). Удачный выбор системы функций упрощается, если предварительно

осуществить конформное отображение области плоскости на область плоскости имеющую вид прямоугольника (рис. 10) [39]. Пусть функция, осуществляющая это отображение, есть и где и построена система координатных функций удовлетворяющая в плоскости всем необходимым условиям, перечисленным выше. Интегральное соотношение (75) в переменных имеет вид

где якобиан преобразования, осуществляемого функцией и

Рис. 10

Рис. 11

Использование разложения (76) снова приводит к уравнению (78), причем коэффициенты и определяются теперь формулами

Преимущества введенной замены переменных в том, что подходящую систему функций можно сконструировать в виде произведений тригонометрических функций. Например, в случае кругового кольца

Результаты применения описанного метода представлены на рис. 11. Практически точные значения коэффициентов в широком диапазоне значений получаются при использовании всего двух координатных функций на рис. 11), т. е. существенно проще, чем при использовании функций Бесселя и Неймана (обозначено кружками).

Отсек с двумя плоскостями симметрии; вариационный метод Ритца — Трефтца. Твердое тело с полостью, частично заполненной идеальной жидкостью, представляет собой при консервативную систему. Подставляя в выражение действия по Гамильтону кинетическую и потенциальную энергии системы тело — жидкость и

отделяя функции времени от функций пространственных координат, можно полу чить Два функционала

стационарные значения которых соответствуют точному решению краевой задачи (45) или (46) соответственно. Это позволяет воспользоваться прямыми методами вариационного исчисления, в частности методом Ритца [22], т. е. искать функции и V в виде линейных комбинаций функций (предполагая, что они обладают полнотой в области обеспечивающей сходимости этих последовательностей):

Если функции удовлетворяют граничным условиям, что вполне реально для цилиндрических отсеков, то алгоритмы методов Ритца и Бубнова-Галеркина совпадают. В случае нецилиидрических полостей удовлетворение граничным условиям становится затруднительным. Наилучшие результаты дает выбор в классе гармонических функций, что позволяет свести объемные интегралы в выражениях коэффициентов к поверхностным и резко уменьшить затраты машинного времени при расчетах на ЭВМ (метода Трефтца [22]). Дальнейшие упрощения достигаются при Общий алгоритм определения основных гидродинамических коэффициентов методом Трефтца выглядит следующим образом.

1. Расчет вспомогательных коэффициентов:

2. Нахождение собственных значений и компонент векторов из уравнений

вектор с компонентами

3. Расчет присоединенных масс и моментов инерции

В случае отсеков в форме тел вращения целесообразно ввести цилиндрическую систему координат

и частные решения краевых задач (45) и (46) искать в форме

(при движении в плоскости надо заменить в на Функции в данном случае целесообразно конструировать на основе использования двух систем функций

где присоединенные функции Лежандра первого рода, первого порядка; полярные координаты в плоскости

В случае односвязных полостей вращения с круговой свободной поверхностью жидкости краевые задачи эффективно решаются методом Трефтца с использованием первой из систем функций (см. [7, 16, 20, 36, 46]). На рис. 12 представлены соответствующие результаты для сферического отсека [2, 20]. На этом же рисунке представлены точные решения (звездочки [56]), приближенные решения, полученные для цилиндрического отсека того же объема и с той же свободной поверхностью жидкости (штриховые линии) и экспериментальные результаты (кружки [19, 20]). Как видно, имеется полное согласие между значениями, полученными методом Трефтца, точным решением краевой задачи и результатами эксперимента. На рис. 13 показаны результаты расчета методом Трефтца гидродинамических коэффициентов для цилиндрического отсека со сферическими днищами [39, 46]. Ряд численных результатов, полученных вариационным методом, приведен в работе [2].

Оценка частот и присоединенных масс жидкости. Ряд оценок такого рода, воспроизводимых ниже, приведен в работах [16, 20, 26, 47].

Поскольку последовательность значений получаемых методом Ритца — Трефтца сходится к первому собственному значению сверху, можно с помощью выражения (82) получить следующую оценку первой собственной частоты:

а при простейшую оценку

где — безразмерный объем жидкости. Для параболоида вращения формула (91) при знаке дает точное значение Формула Рэлея приводит к принципиально иной оценке

(кликните для просмотра скана)

Используя разложения функции в области 2:

а также выражения (30), (42), (43), можно получить следующие формулы характерный размер):

где

Это дает следующие оценки для присоединенных масс

Наиболее удобной является первая из оценок (96), которую можно записать в виде приближенной формулы

погрешность которой для полостей вращения с круговой и кольцевой свободной поверхностью жидкости не превышает 1—3%.

Наряду с методами, описанными выше, большие возможности открывает использование различных вариантов конечно-разностных и сеточиых методов [6, 53].

Экспериментальные методы определения гидродинамических коэффициентов. Постановка задачи экспериментального определения гидродинамических коэффициентов может быть проиллюстрирована на математической модели (52). Задача заключается в определении параметров или

или их безразмерных аналогов (48) и (49). Основную роль в динамических исследованиях играют параметры для значений (реже ) и параметр Погрешность экспериментального определения как правило, не должна превышать 1—2%, значений —12%. Обычно выполняются условия

где I — характерный размер; характерная частота колебаний тела.

Поэтому при определении и правило, допустимы большие погрешности до 15—20%. Все коэффициенты, перечисленные выше, зависят от чисел (см. п. 2). Зависимость от числа В легко исключить выбором характерного размера

экспериментального отсека. Это в сочетании с рациональным выбором амплитуд колебаний жидкости позволяет в каждом конкретном случае получить автомодельность по числу и либо по числу либо (в случае отсека с внутренними ребрами) по числу В основе экспериментальных методов лежат следующие парциальные системы:

где частоты собственных колебаний тела с жидкостью на упругой подвеске при отсутствии волновых движений; соответствующие коэффициенты демпфирования, причем должны выполняться условия

Наиболее общ им методом, позволяющим определить всю совокупность параметров (98), включая и (5, является метод частотных характеристик. Однако при выполнении условий (99), (102) хорошие результаты получаются при независимом последовательном определении основных коэффициентов следующими методами.

Определение Метод свободных колебаний. 2. Метод вынужденных колебаний.

Определение или Измерение частот собственных колебаний парциальных систем, описываемых уравнениями (100), (101). 2. Измерение перемещений тела под действием гармонической силы или пары сил. 3. Измерение сил, действующих на тело при гармонических колебаниях. Подробное изложение этих методов, их особенностей и рациональных областей применения дано, в частности, в работе [19].