5. АВТОКОЛЕБАНИЯ

В роторных системах при определенных условиях могут возникать вибрации, которые не вызываются какими-либо внешними периодическими нагрузками (или несовершенствами ротора) и условия возникновения которых не связаны с какими-либо резонансными соотношениями. Эти колебания называют самовозбуждающимися,

или автоколебаниями, они обусловлены действием неконсервативных сил циркуляционного типа

Неконсервативными силами в роторных системах могут быть силы внутреннего трения в материале ротора и сходные с ними по действию, аэродинамические силы в подшипниках скольжения и в уплотнениях, газодинамические силы в проточных частях турбин, электродинамические и электромагнитные силы в электрических машинах и т. п. [4].

Как было указано в п. 2, циркуляционные силы выделяются из группы сил, связанных со смещением ротора. Необходимым формальным признаком их присутствия является несимметричность матрицы коэффициентов жесткости, т. е. условие когда представляется возможность выделить силы, характеризуемые кососимметричной матрицей жесткостей

Циркуляционные силы связаны с вектором смещения, а не с вектором скорости, как это имеет место в системах с «отрицательным» трением.

Рис. 22

Рис. 23

Вектор циркуляционных сил перпендикулярен вектору смещения (рис. 22), вследствие чего эти силы могут проявить себя лишь в системах с числом степеней свободы больше одной. Важнейшей особенностью циркуляционных сил является их неконсервативность. Действительно, работа сил, заданных зависимостью (59), на произвольном замкнутом контуре

где площадь, заключенная (внутри замкнутого контура.

Основные результаты для задачи устойчивости и автоколебаний роторов изложены в работах [18, 21, 57].

Устойчивость. Характер влияния циркуляционных сил на устойчивость и колебания может быть проиллюстрирован на примере сил внутреннего трения, под которыми понимают силы сопротивления, возникающие внутри элементов системы и обусловленные несовершенной упругостью материала или трением между внутренними элементами системы при их неплотном соединении.

В случае, когда силы внутреннею трения можно считать вязкими (гипотеза Фойхта) с коэффициентом пропорциональности уравнения движения в подвижных координатах имеют вид

Преобразование к неподвижным координатам, добавление членов, учитывающих влияние вязкого внешнего трения, веса ротора и его неуравновешенности, приводит к системе

Из анализа системы (62) следует, что силы внутреннего трения приводят одновременно к возникновению как сил демпфирования, так и циркуляционных сил. Из анализа решения этой системы видно, что силы внутреннего трения не оказывают влияния на вынужденные колебания от неуравновешенности. Это нетрудно объяснить, если принять во внимание, что при таких колебаниях вместе с диском вращается неизменяемая во времени изогнутая ось вала. При изменении скорости вращения центр диска будет перемещаться по кривой (рис. 23), представляющей собой олуокружность радиуса уравнение которой имеет вид

де постоянные составляющие решения системы (62).

Существование таких кривых, обычно называемых кривыми подвижного равновесия, является одним из признаков действия циркуляционных сил (см. п. 6).

Анализ однородной части системы (62) приводит к условию устойчивости

где — скорость потери устойчивости.

Из условия (63) следует, что потеря устойчивости может произойти лишь при скорости, превышающей собственную частоту ротора и что силы внешнего трения отодвигают границу устойчивости в сторону высших скоростей. Анализ показывает, что на границе устойчивости частота самовозбуждающихся колебаний X равна собственной частоте ротора что характерно для автоколебаний. Колебания происходят в форме прямой прецессии, т. е. в направлении вращения ротора. Во вращающейся с угловой скоростью со системе координат эти колебания будут происходить в форме обратной прецессии с частотой

Выше предполагалось, что силы трения являются вязкими и коэффициенты не зависят от частоты колебаний (т. е. что коэффициенты относительного рассеяния энергии пропорциональны частотам). В общем случае при произвольной частотной зависимости если воспользоваться подстановкой

получается более общее условие устойчивости

Анализ условия (65) при различных частотных зависимостях для и дан в работе [4]. Отметим, что имеющее энергетический смысл условие (65) получено для чзотропной системы. Для анизотропных систем условия устойчивости имеют более Ложный вид.

Характер возникновения циркуляционных сил в магнитном поле можно пояснить на примере ротора с электрообмоткой. На каждый проводник рамки, помещений на вращающийся ротор (рис. 24), действует в магнитном поле сила Ампера, пропорциональная квадрату магнитной индукции и относительной скорости

При центральном расположении ротора на рамку, образованную двумя диаметрально расположенными проводниками, будет действовать только момент, вносящий определенный вклад в общий вращающий (или тормозной) момент. Однако,

если ротор смещен из центрального положения, то величина магнитной индукции вблизи каждого проводника будет различной (большей там, где зазор меньший), вследствие чего будут различными и силы Ампера. Поэтому наряду с моментом появится результирующая сила, направленная перпендикулярно плоскости витка в сторону относительного вращения поля. Для всего ротора при малых смещениях можно получить зависимость для проекций силы в виде

где некоторый коэффициент, зависящий от разности

Циркуляционные силы вида (66) при определенных условиях могут приводить к потере устойчивости. В частном случае, когда поле неподвижно а ротор вращается, эти силы могут приводить к автоколебаниям в форме обратной прецессии.

Рис. 24

Структуру вида (66) имеют силы парового потока в проточных частях паровых и газовых турбин [5, 38, 65, 71], силы, возникающие при резании, при задевании ротора о статор и т. п.

Влияние гироскопического эффекта. Для уравновешенного изотропного ротора, могущего совершать только угловые перемещения (см. рис. 5), уравнения движения с учетом внутреннего трения имеют вид

где коэффициенты демпфирования при угловых перемещениях. Условие устойчивости и частота колебаний X на границе имеют вид

Из (67) видно, что гироскопический эффект повышает устойчивость, и при (тонкие диски) система всегда будет устойчивой. Частота колебаний X, уже не является постоянной величиной, а зависит от соотношения между силами трения.

В реальных системах силы внешнего трения, как правило, приложены не к ротору, а в опорах, что может привести к некоторым новым качественным результатам. На рис. 25 для случая изотропных безмассовых опор с вязким трением показана граница устойчивости при фиксированных значениях Значение со соответствует ротору на абсолютно жестких опорах. Область неустойчивости заштрихована. Увеличение трения в опорах увеличивает устойчивость, однако существует некоторое оптимальное демпфирование, превышение которого уже понижает устойчивость, и при система вновь приходит к системе, соответствующей ротору на жестких опорах.

Анизотропия упругих опор существенно повышает устойчивость [9, 42]. На рис. 26 показаны границы областей устойчивости при нескольких значениях коэффициента анизотропии

и при постоянном

коэффициенте относительной жесткости опор а Штриховой линией показано положение границы устойчивости для ротора на изотропных опорах с той же относительной жесткостью а.

Автоколебания. Выход параметров системы за границы устойчивости приводит к режиму автоколебаний, амплитуда и частота которых определяются характером и величиной нелинейных сил системы.

Рис. 25

Рис. 26

Ниже приведены результаты для ротора с одним диском на абсолютно жестких опорах, у которого нелинейны только силы внешнего и внутреннего трений, зависящие от четных степеней радиуса перемещений диска. Уравнения движения такой системы имеют вид

Для идеального уравновешенного ротора с вертикальной осью, т. е. для системы (68) без правых частей, может быть найдено точное решение в форме асинхроннои прямой прецессии с частотой

где амплитуда А определяется из уравнения

Решения будут устойчивыми при выполнении условия

В зависимости от соотношений между нелинейными составляющими сил внешнего и внутреннего трений возможны различные виды амплитудных зависимостей, которые показаны на рис. 27 в случаях, когда коэффициенты сил трений не зависят от частоты:

1) рис. 27, а — нелинейные составляющие внешнего треиия при всех амплитудах больше составляющих внутреннего трения;

2) рис. 27, б — при малых амплитудах внутреннее трение больше внешнего но при больших амплитудах внешнее трение больше внутреннего

3) рис. 27, в — при малых амплитудах при средних при больших где коэффициенты при шестых степенях амплитуд.

Исследование устойчивости решений показывает, что ветви амплитудных кривых, изображенные на рис. 27, б, в штриховыми линиями, будут неустойчивыми. В таких системах возможно жесткое возбуждение автоколебаний при увеличении скорости и затягивание при снижении скорости.

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

Когда коэффициенты сил трений зависят от частоты, то может меняться характер амплитудных кривых. На рис. 28, б (прямая 1) показана амплитудная зависимость для случая, когда единственная нелинейность заключена в силах внешнего тренид а от частоты зависит коэффициент линейного внутреннего трения где относительное рассеяние (гипотеза Сорокина).

Рассмотрение неавтономной задачи, когда в системе (68) имеется только одна нелинейность, а именно в силах внешнего трения приводит к решениям для частот и амплитуд автоколебаний. В случае действия только веса

где величины, определяемые линейным решением исходной системы. В случае действия только сил неуравновешенности

где В — амплитуда вынужденных колебаний от неуравновешенности.

На рис. 28, а показаны амплитудные зависимости, построенные по решению (70) — прямая 2 и по решению (71) — прямая 3, в случае, когда коэффициенты сил трения не зависят от частоты (прямая 1 соответствует автономной системе). На рис. 28, б кривая 2 характеризует решение (71) в случае, когда линейные силы внутреннего трения подчиняются гипотезе Сорокина. Из анализа решений следует, что при выбранном характере нелинейных сил внешние нагрузки повышают устойчивость и уменьшают амплитуды автоколебаний. Дополнительный анализ показывает, что при ином характере нелинейных сил внешние вибрационные нагрузки могут иногда приводить к понижению устойчивости.

Для многомассовых роторных систем или систем с распределенными параметрами в случаях, когда скорость вращения превышает не только первую, но и высшие критические скорости, существует возможность возникновения одночастотных автоколебаний с различными формами или даже многочастотных автоколебаний [28, 49].

На рис. 29 показаны характерные амплитудные зависимости для уравновешенного ротора на двух опорах с распределенными параметрами, который может вращаться со скоростями, превышающими вторую критическую. При этом рис. 29, а, б соответствуют случаям действия сил внутреннего трения, а рис. 29, в — случаю действия гидродинамических сил типа сил в подшипниках скольжения или в уплотнениях, На рис. соответственно первая и вторая критические скорости; — скорости потери устойчивости соответственно по первой и второй формам. Неустойчивые решения показаны штриховыми линиями.

В случае, когда силы внутреннего трения подчиняются гипотезе Фойхта (рис. 29, а), при скорости происходит потеря устойчивости по первой форме и возникают соответствующие автоколебания с частотой амплитуда которых растет с увеличением до скорости , при которой автоколебания по первой форме исчезают. При скорости возникают автоколебания по второй форме с частотой В диапазоне могут одновременно существовать автоколебания или по первой или по второй форме, и реализация той или иной формы будет зависеть от начальных условий. Смена режима в диапазоне происходит скачкоооразно.

Для случая, когда силы внутреннего трения подчиняются гипотезе Сорокина (рис. 29, б), автоколебания по первой форме возникают при скорости при скорости скачкообразно сменяются автоколебаниями по второй форме с частотой При действии циркуляционных сил другого типа (рис. 29, в) будут существовать только автоколебания по низшей форме с частотой

Как показали исследования, для простых двухопорных систем режимы двух- и многочастотных автоколебаний не реализуются. Однако они могут возникнуть в сложных роторных системах, содержащих, например, соосные роторы,