11. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ РАКЕТЫ
Корпус ракеты представляют в виде стержня с переменными по длине массой и жесткостью.
Рис. 13
Смещение любой точки упругой оси корпуса ракеты в неподвижной системе координат 
(рис. 13) в направлении поперечной оси 
представляется в виде
где 
смещение центра масс ракеты; 
угол поворота ракеты как твердого тела; 
собственная форма поперечных колебаний корпуса, не нагруженного осевой силой; 
обобщенная координата, соответствующая координатной функции 
а — координата центра масс ракеты.
Ракета подвержена действию тягн двигателей 
(следящая сила), управляющей силы рулей с градиентом по углу поворота рулей 
и аэродинамических сил. Небольшие поперечные колебания с точностью до величин второго порядка малости не оказывают влияния на скорость и ускорение продольного движения ракеты.
Уравнения возмущенного движения ракеты (в плоскости рыскания) с учетом упругих поперечных колебаний корпуса можно представить
При предварительном анализе обычно принимают: 1) аэродинамические силы не зависят от упругих поперечных колебаний корпуса; 2) аэродинамические силы, обусловленные движением жесткого корпуса, не вызывают упругих поперечных колебаний; 3) поворот вектора силы тяги вследствие упругих колебаний корпуса не влияет на движение ракеты как твердого тела.
При этих упрощениях уравнения (50) распадаются на две группы независимых уравнений: уравнения возмущенного движения ракеты как твердого тела
и уравнения для упругих поперечных колебаний корпуса:
Если управление и стабилизация ракеты осуществляются поворотом основных двигателей, которые имеют значительную массу и момент инерции, то поперечные колебания корпуса и колебания двигателей вокруг оси подвеса оказываются взаимосвязанными. В упрощенном виде расчетную схему можно представить в виде неоднородного упругого стержня, на конце которого шарнирно подвешено и зафиксировано пружиной твердое тело — двигатель.
Когда собственные частоты упругих колебаний корпуса достаточно «разнесены», взаимосвязь поперечных колебаний корпуса с поворотным двигателем можно установить, рассмотрев систему с двумя степенями свободы — упругие колебания корпуса по форме 
тона и поворот двигателя. Дифференциальные уравнения малых колебаний имеют вид [16, 18]
где 
парциальная частота упругих колебаний корпуса ракеты с жестко закрепленным двигателем; 
парциальная частота угловых колебаний двигателя при неподвижном корпусе; 
приведенная масса ракеты с жестко закрепленным двигателем; 
момент инерции двигателя относительно оси вращения, причем
здесь 
коэффициент приведенной жесткости упругого корпуса; 
коэффициент угловой жесткости подвески поворотного двигателя; 
масса поворотного двигателя; 
расстояние от оси вращения до центра масс двигателя; 
тяга управляющего поворотного двигателя.
Из первого уравнения (56) следует, что если двигатель совершает вынужденные гармонические колебания с частотой 
то колебания двигателя не будут оказывать влияние на поперечные колебания корпуса. В этом случае поперечная составляющая вектора силы тяги уравновешивается силами инерции двигателя.
Система (56) может иметь неустойчивость колебательного характера. Если управление ракетой производится поворотом основных двигателей, то 
и в первом приближении в (56) можно положить 
Уравнение границы устойчивости можно найти из условия кратности частот системы:
где 
При 
система (56) всегда устойчива.
Уравнения возмущенного движения ракеты в плоскости тангажа идентичны уравнениям движения в плоскости рыскания. Уравнения возмущенного движения относительно продольной оси в первом приближении можно представить в виде
где 
угол поворота ракеты как жесткого тела вокруг продольной оси; 
обобщенная координата упругих крутильных колебаний корпуса; 
коэффициент затухания и собственная частота колебаний корпуса; 
обобщенный угол поворота управляющего органа вокруг продольной оси.
Погонный момент инерции ракеты относительно продольной оси состоит из момента инерции конструкции и момента инерции жидкости. На величину присоединенного момента инерции жидкости большое влияние оказывают радиальные перегородки, устанавливаемые в баках для демпфирования колебаний жидкости.
масса и погонная масса ракеты; 
-момент инерции жесткой ракеты относительно поперечной оси, проходящей через центр масс; V — скорость невозмущенного полета; 
площадь миделя; 
плотность воздуха; 
коэффициент лобового сопротивления ракеты; 
же, но распределенный по длине корпуса; — производная от коэффициента аэродинамической подъемной силы по углу скольжения; 
то же, но распределенная по длине корпуса; с — производная от коэффициента аэродинамического момента; 
расстояния от вершины ракеты соответственно до центра масс, аэродинамического фокуса, поперечного сечення корпуса, к которому приложена тяга двигателей и в котором установлены рули; I — длина корпуса: 
-собственная частота колебаний корпуса, вычисленная без учета осевой следящей силы; 
коэффициент затухания свободных колебаний корпуса при 
секундный расход массы топлива из 
бака; 
расстояние от вершины ракеты до поверхности жидкости в 
баке; 
расстояние от вершины ракеты до среза сопла двигателя.
