5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОТОКЕ ВОЗДУХА

При упругих колебаниях конструкции ЛА или ее частей в полете к упругим и инерционным силам добавляют аэродинамические силы, которые принято разделять на силы аэродинамической жесткости (пропорциональные перемещениям) и силы аэродинамического демпфирования (пропорциональные скоростям смещений). В ряде случаев учитывают силу внутреннего трения в конструкции, которое приближенно принимают вязким и, следовательно, пропорциональным скоростям перемещений.

Для обобщенных координат уравнение колебаний в потоке имеет следующий вид [см. (5), (6), (14), (34)]:

где вектор внешних, не зависимых от колебаний сил; для свободных колебаний Общее решение однородного уравнения

где комплексная частота тона колебаний; коэффициент затухания тона; круговая частота колебаний тона; комплексный вектор — «форма» колебаний неконсервативной системы; комплексно-сопряженные величины; компонента вектора

Характер колебаний определяется значениями -движение апериодическое (лимитационное); движение колебательное; колебания затухающие; колебания с нарастающими амплитудами (движение неустойчивое); система на границе устойчивости.

Неустойчивость в потоке, имеющую колебательный характер, называют флаттером. Флаттер может привести к разрушению конструкции. Поэтому предотвращение флаттера — важная техническая задача. Комплексные частоты и соответствующие комплексные формы колебаний определяются системы алгебраических однородных уравнений, соответствующих (36) [10, 11, 12]:

Значения удовлетворяют характеристическому определителю

Величины определяются собственными числами и собственными векторами уравнения вида

где

здесь единичная матрица;

При использовании итерационного процесса для определения наибольших по модулю собственных значений применяют другую форму представления уравнения (40а):

Итерации сходятся к т.е. к наименьшей комплексной частоте

Для свободной схемы ЛА матрица особенная. Для устранения особенности пользуются сдвигом комплексной плоскости частот вдоль вещественной оси на некоторую величину При этом для выражения (40а) справедливы следующие соотношения:

Итерации сходятся к Если необходимо вычислить комплексную частоту с максимальной вещественной частью, то используют подстановку

тогда матрицы в (40а) заменяют на

Собственное значение уравнения (40а) заменяют на — Итерационный процесс состоит в последовательном умножении произвольного вектора на матрицу А [см. (406)]:

Если вещественное и то

где любая компонента итерированного вектора

Если комплексно-сопряженные, то

Собственные векторы (комплексная форма колебаний) определяются формулами