12. КОЛЕБАНИЯ ТОНКОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВИНТОВОГО СТЕРЖНЯ

Теория тонких стержней находит практическое применение в различных прикладных задачах о колебаниях пружин. Однако получение решения в конечном виде затруднительно из-за математической сложности, особенно при формулировке граничных условий между опорным и рабочим витками [34, 37—39].

В простейшем случае свободного (шарнирного) опирания, когда (плоское кольцо), решение систем (1), (2) без каких-либо упрощений дает следующую формулу для определения частот свободных колебаний [17]:

которая при совпадает с формулой (91); коэффициент неравномерности распределения деформаций при сдвиге и для малыхиндексов (с 3) равеи

Если принять решение опишет взаимосвязанные колебания, которые только в области низких частот можно условно, но достаточно точно для практических целей рассматривать как продольные, крутильные и поперечные [3, 9].

Рис. 8

В каждом конкретном случае для заданных параметров пружины и др.) решение можно реализовать с помощью ЦВМ. Наиболее просто такое решение получается для условного шарнирного опирания концов, когда поворот концов разрешен только относительно нормали. На рис. 8 показаны графики частотного уравнения для этого случая [9]. При решении уравнения не учтены инерция поворота сечеиий проволоки, сжатие и срез проволоки, т. е. параметры, практически не оказывающие заметного влияния на частоту. Две сплошные кривые 1 на рисунке соответствуют двум сериям частот винтового пространственного стержня при две прямые линии 2 и 3 в левой части рисунка соответствуют частотам продольных и крутильных колебаний эквивалентного бруса; в правой части штриховыми линиями 4 и 5 показаны две серии поперечных частот эквивалентного бруса; две кривые соответствуют частотам кольца в продольном направлении и в собственной плоскости.

Из анализа рис. 8 следует, что в области пружина имеет минимальные частоты, вблизи которых тонкий стержень и эквивалентный брус дают практически совпадающие результаты.

Более точные исследования [23] показывают, что рассмотрение эквивалентного бруса вместо винтового стержня для продольных, крутильных и поперечных колебаний при целом числе полувитков дает погрешность порядка при определении собственных функций и порядка при определении собственных частот; для дробного числа полувитков погрешность частоты имеет порядок Вынужденные колебания под действием продольной или поперечной периодических сил, а также крутящего момента, взаимосвязаны и обнаруживают резонансные свойства в любом направлении, независимо от вида возмущения. При несовпадении направлений возмущения и движения порядок амплитуды колебаний равен

Все оценки законов движений имеют ориентировочный характер, так как получены при отсутствии демпфирования.

Колебания плоского витка в собственной плоскости описываются системой уравнений (8), которая для пружины имеет следующий вид [3, 9]:

где

Решение ищем в форме Собственная частота

где наименьшая частота продольных колебаний эквивалентного бруса [формула (18) при

Из анализа формулы следует, что при (погрешность ); для такая погрешность получается при

Колебания плоского витка в собственной плоскости. Аналогично предыдущему из уравнений (8) получается

где наименьшая частота крутильных колебаний эквивалентного бруса [формула (27) при Точность оценивается по формуле (91).

Продольно-крутильные параметрические колебания. Уравнения колебаний для получают из системы (1), принимая возмущенное состояние за начальное, а параметры тонкого стержня — периодически изменяющимися. Вынужденные перемещения подвижного конца и параметры до и после деформации связаны соотношениями

Частота свободных продольно-крутильных колебаний [8]

Частоту свободных продольных колебаний определяют по формуле (18). Когда по формуле (93) получают независимые частоты и Для связь между колебаниями выражена слабо; если , совместные колебания можно наблюдать практически.

Оставляя в системе (1) члены с минимальным порядком малости относительно без учета высших эффектов упругих и инерционных сил (моментов) кольца, полагая далее

получим два уравнения типа (56) для в которых соответственно

Далее по диаграмме Айпса — Стрегта или приближенным способом по формуле (59) определяем ширину зоны неустойчивости. В общем случае неустойчивость возникает вблизи частот

В основной зоне однако эта частота практически совпадает с частотой второй формы продольных колебаний с одной узловой точкой. Поэтому при малых точка неподвижна, но с увеличением ту пружина начинает колебаться с частотой о»! по форме Одновременно наблюдаются колебания с частотой Это явление для продольных и крутильных колебаний имеет место при

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)