5. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН

Свободные колебания пружин. Объединим уравнения (5)

Решение уравнения

Граничные условия: при жестком креплении

при шарнирном креплении

при консольном креплении

Все характеристические уравнения решаются совместно с соотношением

где

Знак минус соответствует сжатой пружине, плюс — растянутой. Решению характеристических уравнений можно придать единую форму, для чего удобно воспользоваться методом линеаризации этих уравнений по параметрам Идея метода заключается в разложении функции в ряд Маклорена по степеням и нахождении всех вспомогательных производных из характеристических уравнений [25].

Основное частотное уравнение имеет вид

Значения а для различных вариантов креплений приведены в табл. 4.

4. Значения

(см. скан)

Из уравнения (35) определяется угловая частота

Первая форма в выражении (36) справедлива для проволоки произвольного сечения, вторая — для круглого, третья — для стальной проволоки круглого сечения с

5. Значения для основной серии

(см. скан)

Частотная функция

где

Знак минус перед корнем соответствует основной (низкой) знак плюс — высокой (сдвиговой) сериям частот. Результаты, полученные по формуле (36), и опытные данные хорошо совпадают [2, 25, 27]. В табл. 5 приведены значения для основной серии при и жестком креплении торцов.

Когда получаем условие потери статической устойчивости сжатой пружины:

В табл. 6 даны значения критических параметров для стальных пружин при различных граничных условиях.

Анализ функции показывает, что со принимает экстремальные значения в зависимости от поджатия

Исследуя уравнения получаем значения критических параметров, которые соответствуют минимуму

Ниже приведены значения при жестком креплении концов для стальной проволоки круглого сечения (в растянутых пружинах имеет место аналогичная картина

Следовательно, пружина сжатия имеет следующие особенности. Когда с увеличением частота систематически уменьшается вплоть до если то возрастает; при имеем Таким образом, пружина, как брус малой продольной жесткости существенно отличается от обычного сплошного стержня.

6. Значения для стальных пружин

(см. скан)

Частоту для пружины растяжения необходимо вычислять с учетом силы предварительного межвиткового давления которая уменьшает растягивающую силу до величины обозначая в формуле (37) вместо коэффициента 0,615 следует подставить Обычно и поправка составляет 3—5%. В пружине возможно возникновение колебаний с высокой серией частот при которой имеот разные знаки. Уравнение, связывающее имеет вид

Для коротких и мягких пружин лежит в диапазоне реальных чисел оборотов машин об/мин или Гц; для пружин с жестким креплением торцов

Перемещение и угол поворота при свободных колебаниях без учета демпфирования для основной серии частот определяются соотношениями

где функции, описывающие деформированную ось пружины; пружина выводится состояния статического равновесия силой приложенной в точке Для пружины с жестко закрепленными торцами

Функция находится по формуле (29) и аналогичным ей, затем определяется интегрированием первого уравнения системы (5).

Вынужденные колебания пружии. При вынужденных колебаниях

Амплитуда при инерционном возбуждении основания по закону

При т. е. наступает резонанс; в реальных пружинах под влиянием демпфирования имеет ограниченное значение, однако при малом демпфировании колебаний результаты, полученные по формуле (43), удовлетворительно совпадают с опытными данными в диапазоне

Наличие интеграла в числителе выражения (43) говорит о том, что при одинаковых условиях крепления концевых витков колебания с четными номерами гармоник т. е. четным числом полуволн, при поперечном инерционном возбуждении не возникают. Однако практически из-за погрешностей навивки (неравно-мерностей шага, диаметра витка и др.), наличия угла подъема эти колебания возникают, но с амплитудой, на один-два порядка меньше, чем при колебаниях с симметричной формой оси.

Из-за асимметрии жесткостей свободные и вынужденные колебания происходят с биениями, причем любая фиксированная точка витка описывает фигуру Лиссажу (эллипс) с переменными осями. Частоту биений амплитуды приближенно можно определить по формуле

где — номинальные значения жесткостей; отклонения, подсчитываемые по формулам (11), (12). Обычно Гц для пружин с Гц.

Динамические колебательные) составляющие поперечной силы и изгибающего момента, действующие на пружину, определяют по формулам

В местах заделки пружины, например, в точке не лежащей в плоскости колебаний,

После определения находят средние напряжения

которые для круглого и прямоугольного сечений проволоки могут быть уточнены с помощью коэффициента кривизны витка [19]. Здесь моменты сопротивлений сечения проволоки.

Рис. 5

Поперечные колебания пружины с массой. Для определения основных параметров колебаний пружины с массой можно воспользоваться уравнением (28) и решением (29), а также стандартными граничными условиями и условиями сопряжения. Для пружин с двумя зажатыми концами (рис. 5) в точке справедливы соотношения (30), равенства перемещения, углов поворота и изгибающих моментов и соотношение между поперечными силами

Восемь условий дают уравнение частот, корни которого зависят от отношения В табл. 7 приведены значения функции для разных отношений масс.

Собственная частота определяется по формуле (36). Экстремум частоты (минимум) для пружин сжатия с

Для пружин растяжения с

Продольные и крутильные колебания при поперечном возмущении. При поперечных свободных или вынужденных колебаниях с частотой или продольное распорное усилие при малых амплитудах поперечных колебаний

которое по отношению к продольным колебаниям является распределенным внешним возмущением. На основании уравнения (4) чисто вынужденные колебания описываются формулой

7. Значения в зависимости от

(см. скан)

Условие продольного резонанса получим при т. е. возможны как целые так и дробные ( резонансы. Когда лежит вблизи возможны продольныеколебания с биениями. Оценка показывает, что примерно в раза), и создаются благоприятные условия для возникновения продольных колебаний в растянутой пружине. При испытаниях целые и дробные резонансные продольные колебания наблюдаются вплоть до

При крутильных колебаниях, аналогично предыдущему, распределенный крутящий момент

Однако экспериментально обнаружить крутильный резонанс можно, еслн амплитуда поперечного возмущения на порядок больше, чем при продольных колебаниях, так как этнм объясняется пассивность пружины к крутильным резонансам.