8. АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Реальные роторные системы имеют по сравнению с рассмотренными выше идеализированными существенно более сложный вид, и на них могут действовать много других, иногда значительно более сильных внешних и внутренних возмущающих факторов. Так, во многих случаях необходимо при анализе колебаний учитывать распределенность массовых и жесткостных параметров; опорами роторов часто служат гибкие корпусные конструкции; роторные машины группируют в агрегаты, а соединяемые муфтами роторы образуют валопроводы; встречаются конструкции с двумя или несколькими соосными роторами в одном корпусе и т. п.

Как уже указывалось, основной причиной вибраций с частотой вращения является неуравновешенность роторов, образующаяся в процессе их изготовления. Однако в ряде случаев большее, если не определяющее значение приобретают неуравновешенности, образующиеся в процессе эксплуатации. К ним прежде всего следует отнести неуравновешенности, связанные с переносом рабочего тела из-за неполного заполнения полостей в различного рода насосах и подобных машинах, электромагнитную неуравновешенность, а также неуравновешенности, образующиеся за счет искривления оси из-за возможной тепловой несимметрии. В последнем случае для многоопорных роторов неуравновешенность при одной и той же искривленности вала будет зависеть от числа опор и их податливости. Для валопроводов и агрегатов одними из основных причин низкочастотных вибраций являются несовершенства в соединениях и погрешности в расположении опорных устройств.

Методы анализа и расчета колебаний сложных систем находятся в стадии разработки. Ниже изложены качественные стороны вопроса о влиянии несовершенств в соединениях на колебания валопроводов; изложен также один из общих методов расчета колебаний сложных систем и приведены результаты расчета колебаний для некоторых характерных систем.

Несовершенства в соединениях роторов [16, 20, 22, 51, 66]. Роторы соединяют в валопроводы, как правило, с помощью муфт двух типов: неподвижных и подвижных.

Для неподвижных муфт, которые могут быть как жесткие, так и упругие, характерным является отсутствие взаимного проскальзывания между элементами муфт. Типичной неподвижной муфтой является фланцевая муфта, которая состоит из двух полумуфт-фланцев, насаживаемых на концы валов и стягиваемых между собой болтами. Во многих случаях для облегчения сборки на одном из фланцев делают центрирующий выступ, а на другом — соответствующую центрирующую выточку. Сборку фланцевых муфт по центрирующим выступам и выточкам называют иногда принудительным центрированием.

Характерное несовершенство изготовления фланцевого соединения заключается в несоосности оси вращения и осей цилиндрических поверхностей выступов и выточек (радиальное биение) и неперпендикулярности оси вращения торцовым поверхностям полумуфт (торцовое биение). Характерное несовершенство сборки заключается в несовпадении осей спариваемых роторов в местах их соединения муфтами — поперечное и угловое смещения осей, причиной которых являются различного рода монтажные неточности. В зависимости от характера соединений полумуфт (с принудительным центрированием или без) изменяется характер влияния несовершенств изготовления и сборки на вибрации валопровода. При этом вследствие малости несовершенств их влияние на вибрации можно рассматривать независимо (табл. 8).

При соединении муфтами, имеющими несовершенства изготовления, при их принудительном центрировании ось валопровода изгибается (см. эскиз 5, табл. 8) и при вращении валопровода вращается вместе с ним, что эквивалентно действию распределенной неуравновешенности, приводящей к вибрациям с частотой вращения.

При несовершенствах сборки и при соединениях с помощью идеальных муфт при их принудительном центрировании (эскиз 6, табл. 8) ось валопровода изгибается, однако при вращении валопровода изогнутая ось не будет вращаться вместе с ротором, а будет неподвижной (как при действии весовой нагрузки). Под действием возникающих при таком соединении дополнительных нагрузок в изотропных роторах колебании не будет, однако в анизотропных роторах под действием этих нагрузок возникнут Колебания с двойной частотой вращения. Если при указанных несовершенствах сборки полумуфты не центрируются или центрируются неполно (эскиз 4, табл. 8),

то непосредственно после сборки ось валопровода не будет деформирована, однако при провороте последний начнет деформироваться с достижением максимума при провороте на 180° по отношению к положению, при котором производилась сборка. Можно показать, что при таком соединении деформированное состояние может быть представлено как наложение деформированных состояний при двух сборках с принудительным центрированием: в одной имеются только несовершенства изготовления, а в другой — только несовершенства сборки. При вращении валопровода с таким соединением в изотропных роторах возникнут колебания только с частотой вращения, а в анизотропных роторах — также колебания с двойной частотой вращения.

8. Характерные дефекты изготовления и сборки

(см. скан)

Для подвижных муфт именно проскальзывание между элементами муфт является характерным свойством, обеспечивающим компенсацию различного рода неточностей, возникающих при изготовлении и сборке роторов. Другое характерное свойство подвижных муфт состоит в том, что они при своей нормальной работе не передают изгибающих моментов. Однако подвижные муфты, существенно уменьшающие вибрации одного происхождения, сами вследствие определенных несовершенств могут стать причиной вибраций.

В пальцевой муфте передача крутящего момента происходит с помощью нескольких стержней (пальцев), симметрично расположенных на торце одной полумуфты и входящих с определенным зазором в соответствующие гнезда на другой полумуфте (рис. 45). Для обеспечения более плавного пуска и уменьшения шумности муфты между пальцами и гнездами, как правило, расположены эластичные элементы. При передаче крутящего момента при идеальной симметрии в расположении пальцев и гнезд все пальцы нагружены равномерно и на каждый палец действует окружная сила

число пальцев радиус окружности, на которой расположены альцы. этом для каждого из спариваемых роторов проекции всех сил на плоскость, перпендикулярную оси вращения, равны нулю, т. е. поперечные силы отсутствуют

Вследствие неизбежных несовершенств изготовления, а также неодинаковости «зноса пальцев и гнезд, действующие на пальцы силы в общем случае различны. Это приведет к возникновению в каждой полумуфте некоторых поперечных сил оавных по величине и противоположных по направлению. Эти вращающиеся вместе с ротором силы будут деформировать роторы, что приведет к возникновению вибраций с частотой вращения. Вследствие того, что величина сил помимо степени несовершенств в полумуфтах зависит также от величины крутящего момента, возникающие при этом вибрации зависят от величины передаваемой мощности. При этом характерно то, что от вращающейся силы каждый из спариваемых роторов деформируется отдельно как система с консолью, но их колебания, вызываемые вращением деформированных роторов, будут уже совместными.

Рис. 45

При возможности значительных смещений осей спариваемых роторов, а именно в этих случаях целесообразно использовать подвижные муфты, сухое трение в пальцевых соединениях может, как показывают исследования [51], приводить к вибрациям с частотами, кратными частоте вращения. Следует также отметить, что при значительном износе или загрязнении элементов муфт проскальзывание, необходимое для нормальной работы подвижных муфт, затруднено, вследствие чего эти муфты в определенных режимах, например при малых моментных нагрузках, будут работать как неподвижные, а это может приводить к значительным вибрациям, так как при соединении неподвижными муфтами требования к качеству монтажа обычно невысокие. Возможность взаимных смещений в элементах подвижных муфт может приводить к возникновению циркуляционных сил типа внутреннего трения (см. п. 5) и к потере Устойчивости при скоростях вращения, превышающих критическую [11, 66].

Расчет колебаний сложных систем. На стадии проектирования и исследования Роторных систем возникает необходимость в решении следующих линейных задач колебаний для сложных систем:

1) расчет критических скоростей, т. е. таких дискретных скоростей вращения Роторов, вблизи которых следует ожидать вибрации с повышенными амплитудами;

2) определение границ областей устойчивости, выход за пределы которых приводит или к параметрических колебаниям для анизотропных роторов или к автоколебаниям для роторов, находящихся под действием различного рода циркуляционных сил;

3) расчет вынужденных колебаний.

Для систем с большим демпфированием истинные критические скорости достоверно могут определяться как скорости вращения, при которых амплитуды вынужденных колебаний достигают максимальных значений.

При решении линейных задач динамики для сложных роторных систем можно использовать различные методы — методы динамических податливостей или жесткостей, метод разложения по формам собственных колебаний, метод интегральных уравнений и др. [3, 14, 19, 23, 32, 70, 73]. Ниже изложены основные идеи метода, являющегося развитием метода начальных параметров и позволяющего с единых позиций рассматривать различные задачи о свободных и вынужденных колебаниях роторов при учете разнообразных конструктивных факторов и внешних нагрузок [46].

При периодических колебаниях изотропных роторов с распределенными параметрами все деформационные и силовые факторы (см. п. 2) будут изменяться по гармоническому закону. В частности, перемещения сечений ротора можно представить в виде

где для вынужденных колебаний от неуравновешенности и для колебаний на границах устойчивости.

Подстановка выражений вида (106) в систему (7) — (9) и приравнивание коэффициентов при приводит к удвоенному числу уравнений в обыкновенных производных с общим порядком. Деформированное состояние в каждом сечении ротора определяется матрицой — столбцом или вектором 16-го порядка

Для анизотропных роторов при решении задач устойчивости и вынужденных колебаний решения системы (59) ищут также в виде (106), а вектор деформированного состояния имеет вид (107). Однако при нахождении колебаний с частотой от действия нагрузки неизменного направления решения ищутся в виде

а вектор деформированного состояния имеет уже 24-й порядок:

Остальные составляющие вектора а согласно (109) совпадают с составляющими векторами по (107).

При решении задач колебаний для реальных систем целесообразно перейти от действительной системы с распределенными параметрами к некоторой эквивалентной дискретной системе. Для этого ротор рядом узловых точек разбивается на безмассовые участки с одинаковой в пределах участка изгибной жесткостью. Массы участков,

моменты инерции сосредоточенных дисков, сосредоточенные жесткости и демпферы при поперечных и угловых перемещениях (в том числе подшипники скольжения, уплотнения и другие источники циркуляционных сил), все внешние моментные и силовые нагрузки сосредотачиваются в узловых точках дискретно на границах участков.

Для эквивалентной дискретнои системы вместо дифференциальных уравнений порядка (для изотропных роторов и для анизотропных роторов могут быть получены системы матричных рекуррентных соотношений, связывающих деформированное состояние в расчетных ячейках. Для изотропных роторов

для анизотропных роторов

где переходные матрицы участка и узла; и матрицы поворотов главных осей участков и узлов; вектор нагрузки. Эти матрицы и векторы имеют 16-й порядок при рассмотрении колебаний с частотой и 24-й порядок — при рассмотрении колебаний с частотой Вид переходных матриц приведен в работах [16, 46].

Вектор нагрузки, определяющий приращения в узлах силовых и деформационных факторов, при вынужденных колебаниях с частотой со имеет вид

где поперечные и угловые неуравновешенности дисков массы эквивалентный и полярный моменты инерции диска; поперечные и угловые взаимные смещения неподвижных соединительных полумуфт сборки.

Некруглость цапф подшипников скольжения или кинематическое возбуждение в подшипниках качения также могут быть введены в вектор нагрузки

При вынужденных колебаниях с частотой при расцентровке осей и действии весовой нагрузки вектор имеет вид

где поперечные и угловые взаимные смещения осей до сборки неподвижной муфты, расположенной в узле.

Одним из наиболее общих методов решения линейных краевых задач является метод, состоящий в сведении решения краевой задачи к решению нескольких задач Кощи с соответствующими начальными условиями и известный как метод начальных

параметров. При использовании метода начальных параметров решение записывается в виде

где вектор начальных параметров для начального (левого) торца ротора; — вектор параметров в узле; квадратная матрица, столбцами которой являются 16 (для решения с частотой или 24 (для решений с частотой нормальных решений, вектор частного решения, определяемый внешней нагрузкой.

Нормальные решения находят при расчете по формулам (110) или (111) при и при соответствующем каждому нормальному решению единичном начальном векторе -Частное решение находят также при расчете по формулам (110) или (111) при но при нулевом начальном векторе

При решении однородных задач для изотропных роторов на анизотропных опорах все расчетные векторы и матрицы будут иметь уже восьмой порядок. В случае изотропных опор порядок расчетных матриц понижается еще вдвое и они принимают наиболее простой вид

где использованы дополнительные обозначения: сосредоточенные в узлах жесткости соответственно при линейных и угловых перемещениях; длина участка; изгибная жесткость участка; при расчете критических скоростей прямой прецессии; при расчете критических скоростей обратной прецессии.

Формулу (114) при можно расписать для правого торца ротора, и с учетом граничных условий на левом и правом торцах составить линейную однородную систему относительно неизвестных начальных параметров, необходимым условием существования решений которой является равенство нулю ее определителя

где собственные частоты системы.

Уравнение (155) решают обычно методом проб. Затем для каждого с помощью зависимостей (110) или (111) находят соответствующую форму колебаний с точностью до постоянной, как это всегда имеет место при решении подобных задач.

Для неконсерватнвных систем в исходные уравнения входят уже два или несколько параметров. Один из них по-прежнему характеризует частоту X периодических движений, а другие (параметры устойчивости внутренние силы и факторы, приводящие к потере устойчивости. Для таких систем ставится задача об отыскании границы (границ) устойчивости. Как и при определении собственных частот в этом случае составляется условие — уравнение

которое решают методом проб.

В задачах параметрической устойчивости параметры совпадают и равны скорости вращения, т. е.

К неоднородным задачам приводят все задачи о вынужденных колебаниях с частотой вращения обусловленные различного рода несовершенствами изготовления и сборки, а также задачи о колебаниях с частотой под действием нагрузок неизменного направления. При нахождении решений расписывается основная формула (110) или (111) для правого торца ротора и используют известные граничные условия для составления системы неоднородных уравнений для нахождения неизвестных восьми (или двенадцати) начальных параметров. Затем с помощью формул (110) или (111) окончательно находят решение при фиксированной частоте или

Примеры расчетно-экспериментальных исследований для сложных систем. Ниже приведены некоторые характерные результаты расчетов и экспериментов для роторов турбоагрегатов большой мощности. Все расчеты выполнены с помощью программы на ЭВМ, составленной на основе метода начальных параметров. Динамические

коэффициенты смазочного слоя подшипников скольжения определяли по методу, описанному в п. 6.

1. На рис. 46, изображены схема и расчетная схема ротора электрогенератора мощностью типа Основные параметры ротора, подшипников и опор: номинальная скорость вращения об/мин; ротор изотропный с массой расстояние между опорами подшипники цилиндрические с дугой радиальный зазор длина подшипника 45 см; радиус цапф 22,5 см; удельная нагрузка масло турбинное; средняя температура 50° опоры изотропные, упругомассовые, одинаковые с двух сторон, среднеэкспериментальные значения жесткости массы

Критические скорости (собственные частоты), определенные с учетом упругости и массы опор в предположении абсолютной жесткости смазочного слоя, об/мин; об/мин; об/мин.

Формы колебаний при , и показаны на рис. 47.

При расчетах вынужденных колебаний определялись параметры эллипсов перемещений различных сечений ротора и опор при распределении неуравновешенности по первой и второй формам собственных колебаний, т. е. целью расчетов являлось определение истинных критических скоростей и коэффициентов динамичности при них.

Рис. 46

Рис. 47

Рис. 48

На рис. 47 изображены расчетные амплитудные характеристики для нескольких сечений ротора и его опор левая опора, II — правая цапфа (точка 23); III — возбудитель (точка 29); IV — середина ротора (точка 12); V — бандаж (точка 7), а на рис. 48 — экспериментальные амплитудные характеристики для опор генератора, полученные при одном из балансировочных пусков на стенде завода (1 — сторона возбудителя; 2 — сторона турбины).

Расчетной границе автоколебательной неустойчивости соответствует , частота автоколебаний колебаний в минуту и форма колебаний соответствует форме при первой частоте собственных колебаний. При исследованиях на стенде заметные автоколебания наблюдались начиная с об/мин, Частота их была примерно 1000—1050 колебаний в минуту, т. е. расчетные и

экспериментальные результаты близки. Из анализа результатов также следует, что истинные критические скорости близки к собственным частотам, вычисленным в предположении абсолютной жесткости смазочного слоя.

2. Для ротора электрогенератора мощностью типа с выраженной анизотропией сечений бочки ротора выполнены расчеты и проведены экспериментальные исследования колебаний с двойной частотой вращения от действия веса ротора. Схема ротора, его размеры и параметры опор и подшипников близки к ротору, описанному в п. 1.

Коэффициент анизотропии бочки ротора

Расчеты показали, что максимумы вынужденных колебаний от неуравновешенности имеют место при следующих скоростях (основные критические скорости, об/мин) Эти скорости близки к собственным частотам для «усредненных» роторов, т. е. роторов со средними значениями изгибных жесткостей на бочке ротора. Эксперименты показали, что первые две критические скорости близки к расчетным.

На рис. 49 построены расчетные амплитудные кривые для колебаний с частотой контактных колец в горизонтальном (2) и вертикальном (1) направлениях. Там же приведены экспериментальные результаты, полученные на стенде завода. Видно, что в диапазоне интересующих скоростей максимумы вибраций с частотой наблюдаются при скоростях об/мин, об/мин, об/мин, которые близки к половинам основных критических скоростей Максимум не наблюдался при скорости что может быть объяснено практически симметричной конструкцией ротора.

Рис. 49

Рис. 50

Из рис. 49 также следует, что расчетные и экспериментальные результаты для амплитуд колебаний близки.

Расчеты показали, а эксперименты это подтвердили, что в диапазоне рабочих скоростей вращения отсутствуют зоны неустойчивости, обусловленные двоякой жесткостью ротора, что объясняется влиянием значительных сил демпфирования в подшипниках скольжения.

3. Влияние несовершенств в соединениях иллюстрируется на примере расчета условного валопровода из двух изотропных роторов на четырех опорах, включающих в себя подшипники скольжения (рис. 50). По своим размерам и параметрам валопровод близок к части валопровода турбоагрегата мощностью а именно соответствует роторам генератора (РГ) и турбины низкого давления (РНД), соединенных жесткой неподвижной муфтой. Все опоры предполагаются одинаковыми — изотропными, упругомассовыми с параметрами На рис. 50 нумерация опор соответствует нумерации опор всего турбоагрегата,

Первые четыре собственные частоты (критические скорости) валопровода, определенные в предположении, что смазочный слой в подшипниках скольжения является бсолютно жестким, причем соответствуют так называемым генераторным, а — турбинным критическим скоростям. На рис. 51 показаны формы колебаний для первых трех критических скоростей.

Рис. 51

На рис. 51 представлены также амплитудные кривые для перемещений цапф валопровода. расчеты выполнены в предположении, что ротор идеально уравновешен и все несовершенство заключено в соединительной муфте в виде углового несовершенства, принятого равным рад, что соответствует предельно допустимому значению для жестких муфт [20]. Видно, что несовершенство в соединениях валопроводов вызывает вибрации в широком диапазоне частот, т. е. проявляет себя как распределенная неуравновешенность. Из рис. 51 следует, что максимумы вибраций возникают вблизи основных критических скоростей, причем уровни вибраций в рассматриваемом примере на высших критических скоростях оказались существенно более высокими, чем при низших.

Нестационарные задачи колебаний роторов, в частности, задачи о прохождении критических скоростей, во многом аналогичны соответствующим задачам для всех колебательных систем и рассмотрены, в частности, в работах [14, 18].

Для роторов, опирающихся на подшипники качения с большими зазорами или на подшипники скольжения, работающие в режиме сухого трения или скудной смазки, существенными могут стать явления, связанные с так называемыми маятниковыми колебаниями ротора в поле сил тяжести с характерной частотой - величина радиального зазора), а также явления типа обкатки [1, 37, 60].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)