3. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Для описания возмущенного движения жесткого твердого тела с отсеком, частично заполненным маловязкой несжимаемой жидкостью, используются следующие системы координат:

1. «Абсолютная» Начало координат О совпадает с произвольной точкой отсека; ось ачтипараллельиа вектору ускорения поля массовых сил невозмущенного движения; оси ориентированы каким-либо образом относительно отсека, образуя правую систему координат, скрепленную с отсеком в его невозмущенном движении относительно инерцнального пространства.

2. «Связанная» скрепленная с отсеком в его возмущенном движении, характеризуемом вектором малого перемещения и точки относительно О и вектором малого поворота 5 системы относительно

3. «Связанная» с осями, параллельными осям системы координат ось которой проходит через центр масс С невозмущенной свободной поверхности жидкости.

Рис. 4

На рис. 4 представлены смоченная поверхность отсека свободная поверхность жидкости 2 и область занятая жидкостью в невозмущенном движении и свободная поверхность жидкости в возмущенном движении. В качестве обобщенных координат используются проекции векторов, и 5 на оси систем координат соответственно: -смещения точки (рис. 5, а); углы поворота системы относительно системы (рис. 5, б). На рис. 5, б представлена последовательность поворотов системы координат до совмещения с При предположениях, сформулированных на стр. —64,

где потенциал поля массовых сил невозмущенного движеиия.

Предполагается, что отсек может иметь внутренние радиальные (рис. 6, а) или кольцевые ребра (рис. 6, б), максимальная ширина которых мала по сравнению с характерным размером отсека. Невозмущеиная свободная поверхность жидкости считается плоскостью, перпендикулярной продольной оси отсека (если таковая имеется).

Формулировка краевых задач. Учитывая малость перемещений и скоростей всех частиц жидкости и элементов стенок, можно отнести граничные условия к невозмущенной смоченной поверхности отсека включая ребра, и к невозмущенной

ободной поверхности жидкости 2. Пренебрежение на первом этапе вязкостью жидкости позволяет ввести для описания ее возмущенного движения потенциал смещений

являющийся решением следующей краевой задачи [20, 39]: в области

где операторы Гамильтона и Лапласа соответственно; вектор смещения частиц жидкости; та часть аппликаты произвольной точки свободной поверхности, которая характеризует волны на этой поверхности; произвольная функция времени;

Рис. 5

орт внешней нормали к поверхности области радиус-вектор произвольной точки поверхности с началом в точке Радиус-вектор произвольной точки на оси имеющий начало в точке О, Представим потенциал смещений в виде

гармонические векторные функции, компоненты которых являются потенциалами смещений при перемещениях в направлении осей и вращении вокруг осей когда свободная поверхность Жидкости совпадает с плоскостью, параллельной - гармонические Функции — собственные функции краевой задачи о колебаниях жидкости в неподвижном отсеке той же конфигурации; обобщенные координаты, характеризующие волны на свободной поверхности жидкости.

Функции нормируются следующим образом:

где координаты некоторой фиксированной точки на контуре невозмущенной поверхности жидкости 2. При этом обобщенные координаты суть смещения точки свободной поверхности жидкости с координатами в направлении оси при форме собственных колебаний жидкости. Функции и нормы определяются так:

Рис. 6

Функции являются решениями следующих краевых задач:

где

Параметр представляет собоч квадрат частоты собственных колебаний жидкости в неподвижном отсеке [12]. Решение первой из задач имеет вид

где С — произвольный постоянный вектор, который, не нарушая общности, можно положить равным нулю,

Решение второй краевой задачи имеет вид

a функция является решением более простой краевой задачи, чем (16):

По аналогии с (20) можно представить функцию в виде

Учет вязкости жидкости и наличия ребер. В рамках гипотез, сформулированных выше, учет этих факторов возможен на основе рассмотрения выражений [38, 43]

В выражениях скорость элемента полости относительно жидкости; составляющая скорости ребра относительно жидкости, нормальная к его плоскости, определяемая в рамках теории идеальной жидкости и при отсутствии ребер орт нормали к поверхности ребра, образующий острый угол с направлением относительной скорости жидкости

Сила приложенная к элементу площади смоченной поверхности, определяется формулой [13]

где кинематический коэффициент вязкости.

Эффект ребер в рамках теории идеальной жидкости должен быть учтен отдельно, например методом возмущений [20, 39]. Для учета вязкости жидкости при надо вычислить дополнительную силу приложенную к элементу ребра длиной измеряемой вдоль средней линии По аналогии с (25) можно определить силу так (обозначив

Выражение (26) для предложенное в работе [43], позволяет при гармонических колебаниях получить силу (7) с коэффициентами хорошо аппроксирующими эмпирические зависимости, представленные на рис. 3, в наиболее интересном для приложений диапазоне чисел Струхаля Ширину ребра в формуле (26) следует считать функцией длины дуги средней линии ребра (в частном случае

Уравнения возмущенного движения. На основе выражений, приведенных выше, могут получены с помощью теорем об изменении количества движения и кинетического момента следующие общие уравнения возмущенного движения твердого

жесткого тела с отсеком с внутренними ребрами малой ширины, частично заполненного вязкой жидкостью, при больших числах Рейнольдса и малых числах Струхаля:

Здесь тензоры второго ранга:

Элементы тензоров (28) определяются формулами

где C - центр масс тела без жидкости; центр масс жидкости, затвердевшей в невозмущенном состоянии; экваториальные и центробежный моменты инерции площади свободной поверхности центральных осей, параллельных осям элементы тензора инерции твердого тела без жидкости; масса тела и жидкости соответственно.

Черта над символом тензора соответствует сопряженному тензору, знак «градус» - твердому телу.

векторы с компонентами

- скаляры

Возмущения от ребер в рамках теории идеальной жидкости должны быть включены в функции [21, 39]. При отсутствии ребер в формулах для остается только первое слагаемое. Все коэффициенты уравнений (27) выражаются, таким образом, через квадратуры от функций, зависящих только от решений четырех краевых задач: однородной (17) и неоднородной (21), эквивалентной трем независимым краевым задачам для функций Правые части уравнении (27) представляют собой главный вектор и главный момент относительно точки О системы внешних сил, приложенных к телу.

При уравнения (27) переходят в уравнения возмущенного движения твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость.