2. КОЛЕБАНИЯ РОТОРА ТУРБОГЕНЕРАТОРА

При исследовании малых колебаний отдельный ротор двухполюсного турбогенератора, опирающийся на подшипники скольжения, представляют как вал переменного сечения, опирающийся по концам на линейные анизотропные упругодемпферные опоры. Характеристики опор в линейном приближении определяют с учетом свойств масляной пленки (см. гл. VII). Вал ротора турбогенератора имеет двоякую изгибную жесткость, но разность изгибных жесткостей составляет всего несколько процентов от их среднего значения. Поэтому при рассмотрении колебаний типов 1, 3, 4 в первом приближении полагают вал круглым. Наоборот, при приближенном решении задачи о колебаниях типа 2 опоры считают изотропными. Такие упрощения позволяют существенно облегчить получение расчетных формул для практической оценки колебаний ротора турбогенератора. При приближенном определении критических частот вращения вала опоры полагают упругими изотропными и вводят некие эквивалентные коэффициенты упругости опор, подбираемые с таким расчетом, чтобы вычисленные частоты свободных изгибных колебаний вала на упругих опорах были бы близки к измеренной частоте вынужденных колебаний при критической частоте вращения. Зависимости амплитуды вибрации опоры турбогенератора мощностью от частоты вращения при колебаниях с частотой вращения (1) и при колебаниях с удвоенной частотой вращения (2) показаны на рис. 4. Основная критическая частота близка к первой частоте свободных колебаний. Причем для

Рис. 4

этой частоты свободных колебаний влияние упругости опор относительно мало, и первую частоту свободных колебаний можно оценивать для вала на абсолютно жестких опорах.

Ротор турбогенератора с достаточной для расчетов точностью можно считать симметричным относительно середины пролета. При вибрационных испытаниях на стенде завода его устанавливают на двух одинаковых подшипниках. В случае симметричного вала на двух одинаковых опорах (см. ниже) построение решения задачи о колебаниях ротора существенно упрощается.

При расчетах вводят неподвижную и вращающуюся вместе с валом с частотой вращения прямоугольные системы координат и Начало координат О совмещают с левой опорой вала. Ось направлена вдоль вала так, что (I — длина вала), и совмещена с осью недеформнрованного вала. Ось направлена по горизонтали, ось — по вертикали. Оси параллельны осям инерции сечения вала. Вал имеет распределенную массу главные моменты инерции поперечного сечения вала

Уравнения колебаний вращающегося вала переменного сечения с двоякой изгибной жесткостью имеют вид

при

где - частота вращения вала; изгибающие моменты и динамические прогибы, вещественные и мнимые части которых представляют собой проекции соответственно на неподвижные и вращающиеся оси; распределенная нагрузка от неуравновешенных центробежных сил, комплексная функция весовая нагрузка, чисто мнимая функция коэффициент внешнего трения; оператор,

здесь — коэффициент, характеризующий внутреннее трение в материале вала; штрихи указывают на дифференцирование по координате точки — по времени

Граничные условия на концах вала при :

где скачок перерезывающей силы на опоре;

здесь коэффициенты жесткости и демпфирования опоры.

Решение задачи (1) с учетом (2) ищут в виде ряда по гармоническим функциям времени. Для коэффициентов разложения — функций координат — получают систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти функции в свою очередь можно искать также в виде рядов по формам свободных колебаний вала, шариирно опертого на концах. Такой способ удобен в тех случаях, когда приходится рассчитывать колебания при различных частотах и характеристиках опор, поскольку существенная часть расчета — определение форм и частот свободных колебаний —

выполняется один раз.

Частные случаи. Колебания круглого вала на анизотропных упругодемпферных опорах. Для круглого вала

При пренебрежении трением решение уравнения (1) с учетом (4) имеет вид

Индексу соответствует задача о статическом изгибе вала на упругих опорах. Ее решение известно. Для динамической составляющей изгибающего момента и прогиба индекс соответствует прямой, а индекс обратной прецессии вала.

Прогиб вала

где упругий прогиб вала на абсолютно жестких шарнирных опорах; смещение жесткого вала на упругодемпферных опорах.

Для симметричного вала на двух одинаковых опорах симметричные и кососимметричные колебания разделяются:

где для симметричных и для кососимметричных колебаний.

Выразим в виде рядов, т. е.

где формы изгибающего момента и упругого прогиба вала, удовлетворяющие уравнениям

и граничным условиям шарнирного опнрання

На основании этих уравнений и граничных условий

где символ Кронекера.

В рядах (8) суммирование производится отдельно по симметричным или кососимметричным формам в зависимости от того, какие колебания рассматриваются.

Из уравнений (1) и (4) с учетом (5) — (8) после преобразований и интегрирования по от до I следует

где

Из граничных условий (2) вытекает система алгебраических уравнений для определения гармонических составляющих перемещения конца вала

где

Из системы (10) с учетом (11) получаем

Формулы дают решение задачи (1) при условиях (2) и (4). Приближенное решение можно получить, если ограничиться конечным числом членов в рядах (8). Для реальных турбогенераторов достаточно удержать три — пять членов ряда.

Учет трения. Если коэффициент внешнего трения то в результате повторения процедуры построения решения получим, что при малом трении в формуле (9) вместо следует поставить где при и при Если же к то приближенно следует умножить на где при при

В случае изотропных упругодемпферных опор

т. е. вал совершает прямую прецессию. При этом задача о свободных колебаниях без трения приводит к равенству или при к равенству

Отсюда при заданной жесткости опор определяют критические частоты вращения вала или по измеренным критическим скоростям находят жесткость опоры при частоте вращения ротора

Исследование устойчивости вращающегося вала. Решение задачи (1) при условиях (2) и (4) при отсутствии нагрузки на вал имеет вид

Исследование устойчивости сводится к оценке знаков вещественных частей показателей экспонент в равенствах (16). Удобно применить один из критериев устойчивости, например критерий Коши-Михайлова-Найквиста (см. том 1, с. 98). Для этого в формулах (16) следует положить

и отделить в определителе вещественную и мнимую части. На основании (3),

где

Положение вала устойчиво, если с возрастанием поочередно выполняются уравнения

Приближенно эти условия проверяются при конечном числе членов ряда (8). Коэффициенты жесткости и демпфирования опоры (подшипника скольжения) зависят от частоты вращения вала поскольку вместе с меняется толщина масляной пленки. Возникает задача о границах устойчивости — частотах вращения вала, разделяющих области устойчивого и неустойчивого состояний. Необходимое условие, которому должна удовлетворять граница устойчивости заключается в том, что при существует вещественный корень характеристического уравнения задачи При этом удовлетворяются одновременно оба уравнения (22). На основании второго уравнения где

Согласно первому уравнению (22)

Из равенства (21) следует уравнение для определения границы устойчивости:

Частоту автоколебаний на границе устойчивости определяют затем по (23). Если наименьшее значение превышает рабочую частоту вращения то положение уравновешенного вращающегося вала при рабочей частоте вращения устойчиво. Практически устойчивость обеспечивается и в том случае, когда

По-видимому, при не очень большом превышении частоты вращения над границей устойчивости еще не успевают развиться практически заметные автоколебания вала на масляной пленке.

Колебания горизонтального вала с двоякой изгибной жесткостью на изотропных упругодемпферных опорах. При отсутствии неуравновешенных центробежных сил и наличии изотропных опор

На основании (1), (2) при неучете распределенного трения переменные составляющие изгибающего момента и прогиба удовлетворяют системе уравнений

где и граничным условиям

Решение задачи (26), (27) выражается формулами (6) — (8). Аналогично выражениям (9), (14) получаем

где вычисляется по формуле (11) при

Если в уравнениях (1) сохранить член, учитывающий внутреннее трение в материале вала и повторить решение, то в формулах (29), (30) величина окажется умноженной на что соответствует учету внутреннего трения по гипотезе Е. С. Сорокина.

Приближенное решение общей задачи о колебаниях неуравновешенного горизонтального вала с двоякой изгибной жесткостью на анизотропных упругодемпферных опорах выполняется при

Переходные крутильные колебания. Эти колебания валопровода паротурбоагрегата существенны при внезапном коротком замыкании в цепи статора турбогенератора. Ротор паротурбоагрегата состоит из нескольких последовательно соединенных роторов турбины и турбогенератора. При стационарном номинальном режиме работы турбоагрегата суммарный крутящий момент турбины и тормозящий электромагнитный момент генератора (плюс момент сил трения) взаимно уравновешены. Внезапное короткое замыкание в цепи статора генератора, если оно произошло вблизи генератора, сопровождается появлением переменного электромагнитного момента, наибольшее значение которого в несколько раз превышает номинальный момент. Расчет переменного скручивающего момента в валопроводе турбоагрегата при его крутильных колебаниях в режиме внезапного короткого замыкания в цепи статора генератора является определяющим при оценке кратковременной прочности валопровода. Задача о колебаниях валопровода рассматривается обычно без учета действия сил трения и затухания

переменного электромагнитного момента, поскольку эти факторы мало влияют на наибольшее значение крутящего момента в начале процесса короткогозамыкания.

Обозначим- распределенный массовый момент инерции валопровода турбоагрегата; распределенная податливость валопровода при кручении; координата, отсчитываемая вдоль валопровода, длина всего валопровода. Электромагнитный момент предположим равномерно распределенным по длине активного участка ротора турбогенератора. В наиболее тяжелом режиме двухфазного внезапного короткого замыкания на валопровод турбоагрегата действует дополнительный (к номинальному) распределенный крутящий момент

где — частота тока в цепи; при при номинальный тормозящии момент турбогенератора; формулы для подсчета коэффициентов приведены в работе [8]. Уравнение крутильных колебаний валопровода

где угол поворота сечения валопровода; крутящий момент в валу при крутильных колебаниях. На концах валопровода

Рис. 5

В начальный момент времени (момент начала короткого замыкания)

Введем величины формы угла поворота и крутящего момента; частоты при свободных крутильных колебаниях валопровода. Тогда уравнение, описывающее свободные крутильные колебания, имеет вид

при

Уравнениям (33) при граничных начальных условиях (34), (35) удовлетворяет переменный крутящий момент [2]

Зависимость расчетного крутящего момента во фланцевом соединении турбины и турбогенератора мощностью при внезапном коротком замыкании в цепи статора турбогенератора от времени приведена на рис. 5.