3. ИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ

Основную группу составляют задачи анализа и расчетов колебаний изотропных роторов.

Поступательные перемещения. Симметричный гибкий ротор с горизонтальной осью вращения опирается на две абсолютно жесткие опоры (рис. 3, а) В середине безмассового вала, имеющего жесткость на изгиб С, посажен изотропный диск с результирующей неуравновешенностью

Рис. 3

При колебаниях ротора возникают приведенные к точке О линейные силы трения с коэффициентом пропорциональности К. Проекции действующих на диск сил

В симметричной системе возникнут только поступательные движения, для анализа которых достаточно рассмотреть первые два уравнения системы (4), которые имеют вид (ось направлена вдоль

Два входящие в систему (12) уравнения формально не связаны, и каждое из них определяет колебания в соответствующем направлении. Собственная частота системы по любому из направлений

где - прогиб вала под действием нагрузки, равной весу диска.

Вынужденные колебания характеризуются зависимостями для точки прикрепления О:

где

и для центра инерции

Амплитуда колебаний точки 0°

Амплитуда вибрационной составляющей силы со стороны ротора на фундамент

т. е. равна величине центробежной нагрузки от вращающейся на радиусе массы

На рис. 4 построены амплитудно-частотные характеристики для безразмерных перемещений и сил на фундамент от безразмерной скорости при нескольких фиксированных значениях безразмерного демпфирования связанного с логарифмическим декрементом системы соотношением Из решений (14) — (16) и рис. 4 следует:

1) при вращении неуравновешенного ротора точки О и 0°, а также конец вектора силы перемещаются по круговым траекториям в направлении вращения ротора (движения в форме прямых синхронных прецессий);

2) максимальные значения амплитуд перемещений и усилий достигаются, вообще говоря, при различных скоростях, зависящих от величины сил демпфирования. Однако в целом эти максимумы группируются около скорости равной недемпфированной собственной частоте и называемой критической скоростью.

Рис. 4

При малом демпфировании максимальные значения безразмерных перемещений или сил приблизительно равны 1/6,

3) с увеличением скорости амплитуда перемещений точки О стремится к а амплитуда центра инерции 0° стремится к нулю, вследствие чего возникло понятие о самоцентрировании, смысл которого состоит в том, что при больших скоростях центр инерции стремится к оси вращения;

4) силы на фундамент, достигая при малом демпфировании аналитического максимума вблизи критической скорости, с увеличением скорости вращения вновь начинают расти по абсолютной величине (рис. 4, в).

Уравнения для гибкого ротора остаются без изменения для схемы жесткого ротора на упругих опорах с демпфированием (рис. 3, б) при поступательных перемещениях, если положить Такого рода конструкции используют для уменьшения усилий, передаваемых от ротора на фундамент [22]. Из рис. 4, б видно, что лишь при может быть получен желаемый выигрыш в силе, тем больший, чем меньше демпфирование в системе

При анализе колебаний электрических машин необходимо принимать во внимание силы взаимодействия между ротором и статором, обусловленные притяжением ферромагнитных поверхностей. Эти силы вызывают главным образом магнитные вибрации статоров с широким спектром частот [64], но могут существенно влиять и на вибрации роторов. Так, вследствие несовпадения магнитных центров ротора и статора возникают силы притяжения, которые при малых смещениях для многополюсных машин можно представить в виде

где смещения; коэффициент «отрицательной» жесткости магнитного поля. Эти силы магнитного притяжения приводят к снижению собственных частот (критических скоростей), и, в частности, для ротора с одним диском собственная частота

Возникающая неизменная по направлению сила одностороннего магнитного притяжения ротора к статору деформирует ось ротора, и при вращении ротора появляются вибрации с частотой вращения.

Угловые перемещения. На рис. 5 изображен симметричный неуравновешенный обод, соединенный гибкой безмассовой пластиной с жесткой ступицей, вращающейся в жестких опорах. Радиальная жесткость пластины существенно выше ее жесткости при угловых перемещениях, что позволяет рассматривать только угловые перемещения, описываемые двумя последними уравнениями системы (4).

Рис. 5

Рис. 6

Приведенные к плоскости прикрепления линейные упругий и демпфирующий моменты

где коэффициенты соответственно угловых жесткости и демпфирования. Уравнения движения диска только при угловых перемещениях имеют вид

где результирующая угловая неуравновешенность диска.

Собственные (без учета демпфирования) частоты собственных колебаний определяют из уравнения

из которого для каждой скорости находят две собственных частоты.

На рис. 6 построены зависимости частот от со при нескольких значениях отношения Величина равна собственной частоте ротора, вычисленной без учета гироскопического эффекта.

Вынужденные колебания возникают в форме прямой синхронной прецессии. Амплитуды колебаний соответственно плоскости прикрепления и плоскости, в которой расположены оси инерции, определяются формулами

Из решения (21) следует:

1) интенсивность колебаний зависит от разности и при (все моменты инерции тела одинаковы) колебания в системе отсутствуют;

2) амплитуды колебаний достигают максимума вблизи скорости называемой критической скоростью прямой прецессии. При резонансные колебания в системе отсутствуют;

3) как и при поступательных перемещениях, за критической скоростью происходит самоцентрирование ротора, т. е. ось инерции стремится к оси вращения

Критические скорости определяются из рис. 6 как точки пересечения кривых, характеризующих собственные частоты, с прямой Точки, соответствующие пересечениям с большими частотами, определяют критические скорости прямой прецессии а с меньшими частотами — так называемые критические скорости обратной прецессии равные Критические скорости для изотропных систем при колебаниях от неуравновешенности не реализуются, а могут проявиться лишь в том случае, когда на ротор, вращающийся со скоростью действует нагрузка, вращающаяся со скоростью со в противоположную сторону, или периодическая с частотой со нагрузка неизменного направления.

Из рис. 6 наглядно видно, почему при отсутствуют критические скорости прямой прецессии. При действии на вращающийся ротор периодической нагрузки, имеющей частоту V, резонансные колебания возникают при близости частоты к собственным частотам, определяемым из уравнения (20).

Изложенные результаты полностью относятся к случаю кососимметричных колебаний системы, изображенной на рис. 3, б, если в уравнениях (19) положить

Моменты инерции для характерной фигуры с массой представляющей собой цилиндр с наружным радиусом внутренним радиусом и высотой вычисляются по формулам

В частности, для тонкого диска мало) В случае, когда форма ротора близка к цилиндру, длина которого в несколько раз больше его диаметра между критическими скоростями жесткого ротора на упругих опорах малой жесткости при симметричной и кососимметричной формах колебаний существует соотношение которое с некоторым приближением выполняется и для роторов произвольного вида.

Несимметричный ротор. На рис. 7, а изображен гибкий ротор с несимметрично посаженным диском. К такой же расчетной схеме приводится и жесткий несимметричный ротор на упругих опорах (рис. 7, б). Для ротора, имеющего поперечную и угловую неуравновешенности, «спрессованные» уравнения движения без учета сил трения записываются в виде

где главные жесткости системы соответственно при поперечных и угловых перемещениях; побочная жесткость. Величины находят при статическом расчете системы.

Собственные частоты системы (без учета демпфирования) определяют из уравнения

Амплитуды вынужденных колебаний ротора соответственно для поперечных и угловых перемещений находят из формул

где

Максимальные амплитуды имеют место при что приводит к уравнению для нахождения критических скоростей

При из уравнения (24) определяются две критических скорости, а при только одна.

Рис. 7

Из решения (23) следует, что на каждой критической скорости возбуждение возможно как от поперечной, так и от угловой неуравновешенности. При увеличении скорости амплитуда А стремится к а амплитуда к т. е. явление самоцентрирования имеет место и в этом более общем случае.

Ротор с распределенными параметрами. При отсутствии на роторе явно выраженных дисков или других сосредоточенных масс возникает необходимость рассмотрения систем с распределенными параметрами. Предполагают, что распределенная неуравновешенность лежит в одной плоскости опоры ротора изотропны, внутреннее трение отсутствует. Решение системы (10) ищут в виде разложения в ряды:

по формам собственных колебаний соответствующей консервативной задачи (при плоских колебаниях)

где собственная частота (критическая скорость), соответствующая форме Для собственных функций справедливы условия ортогональности

где I — длина ротора,

Подстановка (25) в систему (10) и наложение условий, при которых результаты остановки ортогональны функциям (метод Галеркина), при учете лишь главных составляющих сил демпфирования приводит к системе разделяющихся уравнений

где использованы обозначения:

Система (27) аналогична системе (12) для одномассового ротора, вследствие чего ее решения аналогичны решениям (14) с соответствующей заменой обозначений. При этом амплитуды колебаний

Из анализа вида уравнений (27) и решения (28) следует: 1) распределенная неуравновешенность как бы автоматически разлагается системой в ряды по формам собственных колебаний.

Рис. 8

При этом каждая форма резонирует независимо от других при соответствующей собственной частоте (критической скорости) с интенсивностью, пропорциональной коэффициенту разложения исходной неуравновешенности;

2) каждой форме колебаний присуще явление самоцентрирования;

3) ширина диапазонов резонансных колебаний растет с номером Поэтому на высших критических скоростях вибрации, как правило, имеют более интенсивный характер, чем на низших, даже несмотря на уменьшение коэффициентов с ростом

Демпфирование колебаний гибких роторов. Для уменьшения вибраций в широком диапазоне скоростей, включающем критические скорости, иногда целесообразно использовать специальные демпферы, совмещаемые обычно с опорами [12, 54]. Ниже приведены основные результаты для неуравновешенного гибкого ротора с одним Диском при использовании демпферов вязкого и сухого трений [44].

Демпфер вязкого трения. Для уменьшения резонансных колебаний в системе, изоб раженной на рис. 3, а, ротор располагается на двух одинаковых изотропных упругодемпферных опорах, каждая из которых имеет массу жесткость коэффициент линейного демпфирования (рис. 8).

«Спрессованные» уравнения движения только при поступательных перемещениях имеют вид

где — перемещения соответственно диска и его опор.

Амплитудные значения перемещений диска опор взаимные перемещения диска и опор а также усилия на фундамент (на обе опоры) определяются из выражений

где

Здесь использованы безразмерные параметры

Рис. 9

Недемпфированные собственные частоты (критические скорости) системы находятся при этом, как корни уравнения

Для нахождения оптимальных параметров демпферов используют так называемые инвариантные скорости амплитудных кривых, обладающие тем свойством, что амплитуды при этих скоростях не зависят от величины демпфирования в опорах. Эти скорости определяют в точках пересечения амплитудных кривых при отсутствии демпфирования и при бесконечно большом демпфировании (рис. 9, где ). В рассматриваемом примере таких инвариантных скоростей для перемещений две, а для сил — три. Из условия равенства амплитуд в двух инвариантных точках находят величину жесткости опор. Условие, что касательная к

амплитудной кривой в инвариантной точке является горизонтальной или близкой к ооизонтальной, служит для нахождения коэффициента демпфирования, обеспечивающего максимальным вибрациям их минимально возможные значения во всем диапазоне скоростей.

Расчеты показали, что оптимальные значения получаются различными в зависимости от выбранной вибрационной характеристики (табл. 1).

1. оптимальные значения жесткости и демпфирования

(см. скан)

На рис. 9 при построена амплитудная кривая для силы при «оптимальных» параметрах демпферов, выбранных в соответствии с табл. 1 (кривая 1). Из рис. 9 следует, что сила в широком диапазоне скоростей находится на достаточно низком уровне и при указанных предположениях уменьшена быть не может.

Если вместо приравнивания амплитуд в инвариантных точках имеется намерение снизить амплитуды только вблизи первой критической скорости, то уровень вибрации для силы может быть еще снижен. Так, в случае, когда Жесткость опор из конструктивных соображений может быть выбрана небольшой, удовлетворительные результаты практически для всех переменных дает демпфер с параметрами, соответструющими «оптимальным» параметрам для перемещений диска:

что наглядно видно из рис. 9 (кривые 2—4). Важное значение имеет вопрос о «расстройке» демпфера, т. е. об отклонении его параметров от оптимальных расчетных. На рис. 10 построены зависимости для силы от величины демпфирования при оптимальной жесткости (кривая 1) и от величины жесткости Демпфера при оптимальном демпфировании (кривая 2). Из рис. 10 видно, что при уменьшении демпфирования по сравнению с оптимальным амплитуды силы растут более резко, чем при его увеличении. И наоборот, при уменьшении жесткости силы уменьшаются крайне незначительно и резко растут при ее увеличении. Анализ показал, что оптимальный демпфер обеспечивает минимальное рассеяние энергии в демпфере.

Рис. 10

Демпферы с параметрами, выбранными исходя из минимума вибраций по симметричным формам, как показали расчеты, удовлетворительно работают и при кососимчетричных формах колебаний, а также при установке ротора на одну демпферную опору.

Положительное свойство демпферов вязкого трения состоит в том, что их настройка не зависит от величины неуравновешенности, если она не превышает некоторого предела, при котором демпферы перестают быть линейными [56].

Демпфер сухого трения. В случаях, когда демпферы вязкого трения не могут быть использованы (невозможность подвода жидкости, высокие температуры и т. п.), для целей снижения амплитуд при критических скоростях можно использовать демпферы сухого трения. Основными особенностями элементов сухого трения являются:

1) малая зависимость силы трения от скорости, что позволяет при анализе использовать формулу Кулона

где сила прижатия поверхностей; а — коэффициент, зависящий главным образом от материала трущихся пар;

2) существование в системах, использующих сухое трение, двух режимов: а) элемент «открыт» — возможно взаимное проскальзывание соприкасающихся поверхностей (в этом режиме сухое трение не ограничивает амплитуд при резонансе);

Рис. 11

б) элемент «закрыт» — взаимное проскальзывание поверхностей отсутствует, что возможно в случае, когда сила трения в элементе будет превышать передающуюся через него силу.

Учет указанных особенностей дает возможность за счет выбора величины затяжки демпфера исключить резонансные состояния системы, изображенной на рис. 3, а, В этом случае задача характеризуется параметрами

где сила затяжки каждого из демпферов.

Анализ показал, что если параметр выбран из условия

где недемпфированная собственная частота системы, определяемая из уравнения (31), то в системе не будет резонансных состояний. При расчете по формуле (33) берут такое значение которое приводит к большему значению для Из (33) видно, что всегда больше единицы.

На рис. 11 построены амплитудные кривые силы, действующей на фундамент, при и при нескольких значениях параметра

Из рис. 11 следует, что при резонансные состояния отсутствуют. Демпфер при этом работает в двух режимах:

1) демпфер включен в диапазоне скоростей

2) демпфер выключен во всем остальном диапазоне скоростей.

Рис. 11 позволяет понять физический смысл эффекта демпферов сухого трения, который состоит в том, что демпферы включаются лишь вне резонансных скоростей ротора на упругих опорах.

Параметр и жесткость опор нужно выбирать минимально возможными, так как при этом уменьшаются силы, действующие на фундамент. Параметр зависит от величины неуравновешенности. Поэтому, если эта величина заранее неизвестна, то нужно ориентироваться на максимально возможную. При непредусмотренном росте неуравновешенности уменьшается параметр и если он станет меньше то возможны резонансные колебания на критических скоростях.

Рис. 12

Рис. 13

В этом проявляются нелинейные свойства демпферов сухого трения.

Пассивные виброгасители. В некоторых случаях для существенного снижения вибраций на фиксированных скоростях вращения полезно применять пассивные виброгасители, представляющие собой некоторые массивные элементы, связанные с опорами или корпусом упругодемпферными связями [8]. Ниже приведены основные результаты для роторной системы, включающей гибкий ротор (рис. 12) с одним неуравновешенным диском, жесткий, соосный с ротором корпус на амортизаторах и два одинаковых изотропных, установленных на корпусе виброгасителя, которые могут совершать колебания в плоскости, перпендикулярной оси вращения [26]. «Спрессованные» уравнения движения при поступательных перемещениях имеют

Безразмерные параметры задачи

Для амплитуд перемещений корпуса и виброгасителей получены зависимости

В случае идеального виброгасителя без трения система обладает тем свойством, что при скорости численно равной парциальной частоте виброгасителя и определяемой из условия

амплитуда перемещений корпуса обращается в нуль, что позволяет применять виброгасители для снижения вибраций на фиксированных скоростях.

Всегда существующее демпфирование в виброгасителях делает принципиально невозможным обращение в нуль перемещений корпуса. Для настроенных виброгасителей, т. е. при соблюдении условия (36), при малых 63 могут быть получены приближенные оценки

которые позволяют понять основные особенности работы виброгасителей, а именно:

1) уровень вибраций корпуса практически прямо пропорционален силам демпфирования в виброгасителях и обратно пропорционален их массе,

2) перемещение самих виброгасителей определяется в основном их массой. Эффект применения виброгасителей определяется при сопоставлении вибраций систем без виброгасителей и с виброгасителями, причем за эффективность принимается величина

где амплитуда вибраций корпуса в системе без виброгасителей.

На рис. 13 при построены зависимости от параметров

Эффективность виброгасителей максимальна при рабочей скорости, совпадающей с собственными частотами системы, показанной на рис. 12, и минимальна при скорости, равной парциальной частоте ротора на абсолютно жестких опорах Влияние массы корпуса, жесткости амортизаторов и силы трения в них незначительно.

Эффективность виброгасителей существенно уменьшается при их «расстройке», т. е. при нарушении условия (36), что может произойти за счет отклонения от расчетных величин жесткости или массы виброгасителей или за счет изменения скорости вращения. Эти величины характеризуются отношениями

которые связаны между собой:

Аналогичное отрицательное влияние оказывает также анизотропия свойств виброгасителей, в частности различие собственных частот в направлениях

Анализ случая, когда оба виброгасителя расстроены одинаково по величине и по знаку, показан на рис.

из которого, в частности, следует, что чем выше эффективность настроенного виброгасителя, тем резче она падает при расстройке. В случае, когда виброгасители расстроены в разные стороны, эффективность снижается еще более существенно (на рис. 14 эти кривые показаны штриховыми линиями). При этом могут создаться условия, когда эффект гашения исчезнет практически полностью, для чего достаточно, чтобы скорость вращения попала в середину диапазона, образованного парциальными частотами двух виброгасителей. Это позволяет объяснить наблюдаемые на практике явления, когда эффективность системы с несколькими виброгасителями оказывается меньшей, чем с одним виброгасителем.

Рис. 14

Установка виброгасителей на корпусе является классической схемой. Однако виброгасители могут быть установлены также на промежуточные элементы между ротором и корпусом или между корпусом и фундаментом [8].

Анализ указанных схем и сопоставления их с классической показали, что такие схемы, как правило, не являются более эффективными.