Глава II. КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Многие удлиненные элементы конструкций могут быть схематизированы как криволинейные стержни, например трубопроводы систем управления и более крупные технологические трубопроводы. Классическими криволинейными стержнями являются также пружины: цилиндрические, конические, плоские, фасонные. Схемой криволинейного стержня описываются и многие рычажные системы, рабочие органы роботов, бандажные кольца и удлиненные лопатки турбомашин, статоры электродвигателей и даже архитектурные арки.
Класс криволинейных стержней ограничен только параметром удлинения. При большом удлинении стержни в целом стремятся к безмоментному состоянию и образуют подкласс нитей и цепей. При малом удлинении полный ответ о границах применимости схемы криволинейного стержня можно получить только из решения соответствующей задачи теории упругости, а в рамках самой схемы можно лишь выяснить, какое влияние на колебания оказывают те или иные поправочные факторы.
1. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ И НИТЕЙ
Криволинейные стержни (рис. 1) компактного, нетонкосгенного сечения считаются тонкими, если выполняются неравенства
где 
характерный поперечный размер; 
число волн собственной формы; 
радиус кривизны продольной оси, проходящей Через центры тяжести сечений; 
общая длина стержня. В отдельных сечениях возможно 
т. е. допустимы точки излома.
Для более коротких стержней следует учитывать дополнительные поправочные факторы или даже рассматривать стержень как объемное упругое тело.
Свободные и вынужденные колебания рассматриваются ниже в линейной постановке в предположении о малости смещений и углов поворота, В этом случае для тонких стержней достаточно хорошо выполняется гипотеза плоских сечений, и уравнения колебаний имеют вид [4, 11]
Искомые функции, зависящие от продольной координаты 
и времени 
вектор смещения оси; 
вектор угла поворота сечения; 
векторы момента и силы в сечении.
Величины, зависящие только от 
орт, касательный к оси 
модуль Юнга; 
площадь поперечного сечения; 
матрицы податливостей; с — диагональная матрица погонных массовых моментов инерции; 
плотность материала; 
коэффициент вязкого трения; 
вектор распределенной нагрузки, приложенной к оси; Я — круговая частота вынуждающих сил; 
- векторы силы и распределенной предварительной нагрузки.
Направления главной нормали и бинормали оси стержня при ограничениях (1) не имеют значения.
Рис. 1
Рис. 2
Матрица а в главных осях сечения, Задаваемых ортами 
(рис. 1 и 2), является диагональной и определяется двумя жесткостями на изгиб 
и жесткостью на кручение 
Элементы матрицы с связаны с геометрическими характеристиками зависимостями
Естественная закрученность рассматриваемых здесь стержней, т. е. скорость вращения трехгранника 
вокруг х при его движении вдоль оси 
ограничена значением угла наклона крайнего волокна к оси 
В этом случае можно положить матрицу жесткости 
При 
необходимо уже учитывать естественную закрученность стержней (см. гл. IX).
Частные случаи. 1. Прямой незакрученный и предварительно ненагруженный стержень 
Система (2) распадается на четыре подсистемы скалярных уравнений, Используемых в сопротивлении материалов (свободные колебания, см. т. 1, гл. XI):
растяжение
кручение
изгиб в главных осях
2. Безмоментная криволинейная нить или цепь 
Положение равновесия определяется уравнениями
или в скалярном виде
где 
— радиус кривизны оси; 
орты главной нормали и бинормали.
При цулевой жесткости на изгиб недопустимы сжимающие напряжения, поэтому в каждом сечении должно выполняться условие 
Колебания описываются уравнениями
В случае прямой струны 
система (8) распадается на три подсистемы: продольные колебания описываются уравнениями (3); колебания струны в поперечных направлениях — уравнениями
Уравнения (8) являются частным случаем общих уравнений (2), поэтому в дальнейшем они рассматриваться не будут.
Нагрузка 
может содержать дельта-функции, имитирующие сосредоточенные силы,
