2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Безразмерные переменные. Свободные колебания описываются уравнениями (2) при Решение в этом случае ищут по методу Фурье:

Для записи уравнений в безразмерном виде вводят безразмерные функции

безразмерная координата. Безразмерный параметр частоты определяют из соотношения

где

В уравнения входят также безразмерные параметры порядка единицы:

и малый параметр

В безразмерном виде уравнения (2) записываются так:

где штрих обозначает производную по

При значениях а порядка единицы все безразмерные функции имеют один и тот же порядок величин, поэтому с учетом неравенств (1) члены, имеющие множитель в большинстве расчетов можно опустить [1]. Однако эти члены становятся определяющими тогда, когда основные члены обращаются в нуль, например, в случаях продольных и крутильных колебаний прямых стержней.

Члены с начинают значительно влиять на собственные частоты и формы колебаний тогда, когда их величина оказывается соизмеримой с критической эйлеровой силой.

Аналитические решения. Аналитические решения получены лишь в тех случаях, когда уравнения (12) сводятся к системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Таких случаев три: прямой стержень, круговое кольцо и цилиндрическая спираль, причем два первых являются частными случаями третьего. Кроме этого необходимо постоянство сечения стержня Для прямого стержня задача решается при любых граничных условиях при помощи функций Крылова, Известно также решение для конуса в функциях Бесселя.

В случае замкнутого кругового кольца в качестве линейного размера вместо удобнее использовать а вместо центральный угол (см. рис. 2). Уравнения с постоянными коэффициентами получаются, если орт лежит в плоскости кольца 112], а векторные уравнения (12) проектируются на криволинейную систему координат, определяемую ортами при этом она распадается на две скалярные подсистемы, описывающие:

колебания в плоскости кольца

колебания по нормали к плоскости кольца

При известны решения для замкнутого кольца системы (13) для изгибных колебаний Р. Хоппе [12]:

или в размерном виде

и Дж. Мичелла для системы (14) [12]:

или в размерном виде

В обоих случаях решениями являются тригонометрические функции:

константы остаются неопределенными, а остальные выражаются через них следующим образом:

При имеются еще два осесимметричных решения: Хоппе системы (13) [12]:

и К. Бессета системы (14) [12]:

Аналитическое решение задачи о незамкнутом кольце оказывается настолько сложным, что большинство авторов, занимавшихся этой задачей, предпочитали приближенные методы (см. стр. 28). Для спирали тем более не было получено аналитических решений, так как в этом случае система уравнений (12) не распадается.

Система уравнений в скалярном виде и граничные условия. Уравнения (12) имеют наиболее простой вид в декартовой системе координат, а граничные условия — не сложнее, чем в любой другой системе, поэтому для стержней с пространственной криволинейной осью эти уравнения следует проектировать на неподвижную систему [1, 5]:

(см. скан)

Направляющие косинусы ортов связаны соотношениями

поэтому только три из них независимы.

Компоненты определяются соотношениями

Граничные условия в классических случаях имеют вид: заделка

свободный конец

сферический шарнир

одноосный шарнир

шарнир Гука со шлицевым соединением

Численный метод расчета частотной функции. В многочисленных работах, посвященных колебаниям стержней отдельных несложны форм, авторы пользовались различными приближенными и численными методами. Наиболее простым в смысле подготовительных операций и одновременно наиболее точным является прямой метод численного интегрирования уравнений с последующим определением собственных частот и форм колебаний.

Введем обозначения, аналогичные принятым в работе [5],

Уравнения (15) и граничные условия принимают вид

Вследствие линейности уравнений (16) имеет место соотношение

Частотный определитель шестого порядка имеет вид

где индекс дополняет из (17) до 12, индекс такой же, как в (18).

При заданном а эгот определитель составляют путем шестикратного численного интегрирования уравнений (15) по методу начальных параметров. Согласно этому методу для расчета одного столбца начальные условия берут в виде столбца единичной матрицы двенадцатого порядка, затем уравнения (15) интегрируют по на отрезке [0, 1] методом Рунге-Кутта и полагают Такую операцию повторяют 6 раз для различных после чего вычисляют величину

Варьируя а, строят частотную функцию Примерный вид этой функции, нормированной и сглаженной по формулам

показан на рис. 3.

Расчет собственных частот и форм колебаний. Собственные частоты колебаний определяют по значениям корней функции При нахождении корней а; используют следующие свойства этой функции

1) все корни действительны и положительны;

2) корни перемежаются с экстремумами;

3) интервал между корнями в среднем имеет порядок единицы. Косвенное доказательство свойства 1 имеется в работе [8], доказательств свойств

2 и 3 нет; они сформулированы по аналогии с прямыми стержнями и подтверждены пока лишь практикой вычислений.

Рис. 3

На основании свойств 1 и 3 вычисление частотной функции начинается с и ведется с шагом т. е. поточечно строится зависимость Приблизительное положение корня определяется по выполнению неравенства

а затем корень уточняется методом квадратичной интерполяции. Обычная точность определения корня

Чтобы не пропустить близких корней (см, рис. 3), используют свойство 2 и проверяют условие

Если оно выполняется, шаг дробится и вычисления в интервале повторяются до тех пор, пока не выполнится условие (20) или условие В последнем случае два близких корня найдены с заданной точностью, но при этом ранг определителя (19) понижается сразу на две единицы, и для вычисления собственной формы требуется специальная процедура. Ввиду крайней редкости этого случая такая процедура здесь не рассматривается.

После нахождения корня собственную частоту вычисляют по формуле

Собственные формы находят на основании того, что при однородная система линейных алгебраических уравнений шестого порядка

имеет нетривиальное решение; для нахождения его отбрасывают последнюю строку, а последний неопределенный параметр полагают равным единице, т. е.

Затем решают оставшуюся систему пятого порядка, после чего уравнения (15) интегрируют с найденными начальными условиями и условиями (17).

Для нормализации собственной формы в процессе интегрирования рассчитывают величину безразмерной интенсивности касательных напряжений а и определяют ее максимум. Наконец, найденные из (22) начальные параметры делят на и окончательно интегрируют систему (15) при т. е. рассчитывают собственную форму, нормированную по условию

Точность выполнения условий (18) служит очень удобной апостериорной проверкой точности всего алгоритма. Обычно эта точность порядка

Для расчета нескольких 10) частот и собственных форм необходимо выполнить следующие подготовительные операции:

1) задать шаг интегрирования или число шагов интегрирования (от 20 до 200), точность вычисления корней до и желаемое число корней;

2) запрограммировать форму стержня, т. е. задать направляющие косинусы и функции в зависимости от (желательно в виде таблиц с шагом

Точность не зависит от шага интегрирования поэтому желательно следить за согласованием этих величин; большая точность должна соответствовать меньшему шагу.

Алгоритм устойчиво работает до значений , на этом интервале обычно находится более 10 корней (см. ниже). Для нахождения большего числа корней при интегрировании приходится применять метод прогонки С. К. Годунова [3].