Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯБезразмерные переменные. Свободные колебания описываются уравнениями (2) при
Для записи уравнений в безразмерном виде вводят безразмерные функции
где В уравнения входят также безразмерные параметры порядка единицы:
и малый параметр
В безразмерном виде уравнения (2) записываются так:
где При значениях а порядка единицы все безразмерные функции имеют один и тот же порядок величин, поэтому с учетом неравенств (1) члены, имеющие множитель Члены с Аналитические решения. Аналитические решения получены лишь в тех случаях, когда уравнения (12) сводятся к системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Таких случаев три: прямой стержень, круговое кольцо и цилиндрическая спираль, причем два первых являются частными случаями третьего. Кроме этого необходимо постоянство сечения стержня В случае замкнутого кругового кольца в качестве линейного размера вместо колебания в плоскости кольца
колебания по нормали к плоскости кольца
При
или в размерном виде
и Дж. Мичелла для системы (14) [12]:
или в размерном виде
В обоих случаях решениями являются тригонометрические функции:
константы
При
и К. Бессета системы (14) [12]:
Аналитическое решение задачи о незамкнутом кольце оказывается настолько сложным, что большинство авторов, занимавшихся этой задачей, предпочитали приближенные методы (см. стр. 28). Для спирали тем более не было получено аналитических решений, так как в этом случае система уравнений (12) не распадается. Система уравнений в скалярном виде и граничные условия. Уравнения (12) имеют наиболее простой вид в декартовой системе координат, а граничные условия — не сложнее, чем в любой другой системе, поэтому для стержней с пространственной криволинейной осью эти уравнения следует проектировать на неподвижную систему (см. скан) Направляющие косинусы
поэтому только три из них независимы. Компоненты
Граничные условия в классических случаях имеют вид: заделка
свободный конец
сферический шарнир
одноосный шарнир
шарнир Гука со шлицевым соединением
Численный метод расчета частотной функции. В многочисленных работах, посвященных колебаниям стержней отдельных несложны форм, авторы пользовались различными приближенными и численными методами. Наиболее простым в смысле подготовительных операций и одновременно наиболее точным является прямой метод численного интегрирования уравнений с последующим определением собственных частот и форм колебаний. Введем обозначения, аналогичные принятым в работе [5],
Уравнения (15) и граничные условия принимают вид
Вследствие линейности уравнений (16) имеет место соотношение
Частотный определитель шестого порядка имеет вид
где индекс При заданном а эгот определитель составляют путем шестикратного численного интегрирования уравнений (15) по методу начальных параметров. Согласно этому методу для расчета одного столбца Варьируя а, строят частотную функцию
показан на рис. 3. Расчет собственных частот и форм колебаний. Собственные частоты колебаний определяют по значениям корней функции 1) все корни действительны и положительны; 2) корни перемежаются с экстремумами; 3) интервал между корнями в среднем имеет порядок единицы. Косвенное доказательство свойства 1 имеется в работе [8], доказательств свойств 2 и 3 нет; они сформулированы по аналогии с прямыми стержнями и подтверждены пока лишь практикой вычислений.
Рис. 3 На основании свойств 1 и 3 вычисление частотной функции начинается с
а затем корень уточняется методом квадратичной интерполяции. Обычная точность определения корня Чтобы не пропустить близких корней (см, рис. 3), используют свойство 2 и проверяют условие
Если оно выполняется, шаг После нахождения корня
Собственные формы находят на основании того, что при
имеет нетривиальное решение; для нахождения его отбрасывают последнюю строку, а последний неопределенный параметр полагают равным единице, т. е.
Затем решают оставшуюся систему пятого порядка, после чего уравнения (15) интегрируют с найденными начальными условиями и условиями (17). Для нормализации собственной формы в процессе интегрирования рассчитывают величину безразмерной интенсивности касательных напряжений а и определяют ее максимум. Наконец, найденные из (22) начальные параметры делят на
Точность выполнения условий (18) служит очень удобной апостериорной проверкой точности всего алгоритма. Обычно эта точность порядка Для расчета нескольких 10) частот и собственных форм необходимо выполнить следующие подготовительные операции: 1) задать шаг интегрирования 2) запрограммировать форму стержня, т. е. задать направляющие косинусы и функции Точность Алгоритм устойчиво работает до значений
|
1 |
Оглавление
|