7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ДИСКА МЕТОДОМ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Основные уравнения. Рассматриваются колебания дисков с узловыми диаметрами и окружностями, при которых прогибы срединной поверхности дисков определяются соотношением (8).

Соответств) ющие этим прогибам силовые факторы

Система уравнений в частных производных заменяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно амплитудных факторов . В качестве основных переменных целесообразно принять прогиб угол поворота нормали (производную прогиба) радиальный изгибающий момент и полную радиальную перерезывающую силу Приняты следующие обозначения.

Силовые факторы выражаются через основные переменные

Получаем систему четырех уравнений первого порядка:

где вектор неизвестных параметров; штрихом обозначено дифференцирование по радиусу верхний индекс знак транспонирования, Ненулевые элементы матрицы А определяются следующими равенствами:

Краевые условия. На внутреннем контуре см. рис. 6) при жестком закреплении

при шарнирном закреплении

при отсутствии связей

На наружном контуре рис. 6) из условия взаимодействия лопаток и обода диска

При отсутствии связей на наружном контуре

Расчет по методу начальных параметров [6, 7]. Уравнение (57) имеет собственные значения представляющие собой квадраты (круговых) частот колебаний диска. Общее решение уравнения (57) содержит четыре линейно независимых частных решения, причем собственные значения находятся из краевых условий. При однородных краевых условиях в «начальном сечении» дотаточно сохранить два частных решения, удовлетворяющих этим условиям,

где произвольные постоянные;

— частные решения уравнения (57), удовлетворяющие краевым условиям при

При начальных условиях (59) следует принять

при условиях (60)

Для определения решений система уравнений (57) интегрируется численно при заранее выбранной величине

Начальные значения принимаются в соответствии с равенством (67) или (68) (в зависимости от краевых условий при Краевые условия при [условия (62) и (63)] приводят к двум однородным уравнениям относительно Частота колебаний определяется из условия обращения в нуль детерминанта системы:

где

Величины вычисляются для заранее выбранного значения Величины в равенствах (70) соответствуют решениям (66) при также соответствуют принятому значению

Корни частотного уравнения (69) определяются с помощью вычисления функции при различных значениях [см. уравнение (50)].

Дальнейшие уточнения. В работе [13] система уравнений, описывающих деформацию диска, дополняется учетом деформаций колец (обода, промежуточных кольцевых подкреплений). Общая система дифференциальных уравнений (в матричной форме) описывает и колебания лопаток с учетом их естественной закрутки. В работе [71] рассматривается полная система уравнений колебаний диска и лопатки, которая содержит 28 уравнений первого порядка. Учитываются влияния изгибно-крутильной связанности колебаний лопатки и центробежных сил. Указанное рассмотрение дополняется в работах [42, 72] учетом бандажных связей.