10. КОЛЕБАНИЯ КОНИЧЕСКИХ И ФАСОННЫХ ПРУЖИН
Исходные соотношения пружины характеризуются уравнениями спирали, образующей и радиуса витка (рис. 6)
где 
.
В табл. 9 приведены значения констант пружии для разных видов образующей и спирали в плане.
9. Значения констант пружин
(см. скан)
Продольная жесткость
Линейная масса
Продольные и крутильные колебания. Уравнение продольных колебаний [35] 
интегрируется в функциях Бесселя; круговая частота продольных свободных колебаний
для стальной проволоки круглого сечения
Рис. 6
Для пружин с одним свободным концом, на котором прикреплена масса 
корень 
определяется из уравнения (У — функция Бесселя)
где
Для пружин с зажатыми концами
Для консольной пружины
В табл. 10—11 приведены корни уравнений (77), (78) при 
а в табл. 12 — корни уравнения (74) при 
10. Корни уравнения (77)
(см. скан)
11. Корни уравнения (78)
(см. скан)
12. Корни уравнения (74)
Формулы (72), (73) после замены в них на 
можно использовать для определения частоты свободных крутильных колебаний: в характеристических уравнениях 
и для конической пружины с постоянным шагом при 
имеем 
При 
в формулы (72), (73) следует подставить 
(вместо 
); корни 
определяются по 
Продольно-крутильные колебания массы, закрепленной на конической пружиие, с учетом приведенной массы пружины см. в работе [29]. Для других типов пружин корни можно иайти в работе [25].
Поперечные колебания описываются системой уравнений
где для конической пружины с постоянным шагом
Индексом 
обозначены характеристики цилиндрической пружины с 
те же. Имеются приближенные решения системы (79), основанные на использовании метода Бубнова-Галеркина [24, 25], для чего 
и 
аппроксимируются функциями
где со определяется по формуле (36), которая в данном случае имеет вид
Функцию 
для низкой серии частот находят из соотношения
где
Значевия постоянных 
приведены в табл. 13.
13. Значения постоянных 
(см. скан)
Формула (81) проверялась экспериментально. Для пружин с 
результаты, полученные по этой формуле и экспериментально, удовлетворительно совпадают. Параметры пружины, соответствующие потере устойчивости при сжатии,
При 
критическая высота находится в пределах 
После начала посадки (витка на виток или на опорную плоскость) продольный изгиб не имеет места.
