4. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН

Свободные продольные колебания пружины. В уравнении (4) обозначаем:

Общее решение уравнения (13) при неподвижном креплении одного и колеблющемся втором торцах имеет вид

Используя начальные условия и при получаем

Для предварительно сжатой (растянутой) пружины, отпущенной без начального импульса

поэтому

Уравнения колебания пружин с двумя зажатыми или или с одним неподвижным и другим подвижным торцами имеют характеристические числа или Угловая частота свободных колебаний

или (в Гц)

стальной проволоки

Формулу (20) проверяли экспериментально, она дает удовлетворительные результаты для Аналогичный расчет пружин по волновой теории при ударном нагружении рассмотрен в [14, 20].

Свободные колебания пружины с массой. Виток пружины и прикрепленная к нему масса (рис. 4) колеблются по одному и тому же закону, описываемому уравнением (4); поэтому в точке сила инерции массы уравновешивается упругой силой пружины. Из этого условия получаем характеристическое уравнение

Первый корень для с ошибкой определяется по формуле

Для предельные значения приведены в табл. 2 [7].

2. Предельные значения а.

(см. скан)

Рис. 4

Когда масса зажата между одинаковыми пружинами с неподвижными торцами (см. рис. 4), корни определяются по формуле (22) и табл. 2. В остальном расчет аналогичен расчету консольной пружины. Если расчет можно вести по приведенным массе и жесткости [36].

Колебания пружины с переменным шагом. Такие пружины обладают свойством равночастотности в некотором диапазоне изменения при заданных значениях при посадке витков справедлива зависимость [7]

Свободные колебания массы описываются уравнением

которое для периода колебания дает точное решение

где наибольшие положительное и отрицательное смещения; Для практических расчетов можно воспользоваться приближенной формулой

которая дает погрешность при период меняется всего на 5%.

Крутильные колебания. Между крутильными и продольными колебаниями существует полная формальная аналогия и поэтому в уравнении (4а) вместо следует подставить Частота колебаний

Вынужденные продольные колебания. Возмущение может иметь силовой, кинематический или инерционный характер; обозначим через функцию, описывающую закон возмущения. В табл. 3 приведены основные расчетные величины и функции: переменная высота пружины; суммарное усилие, действующее на пружину; предварительное усилие; возмущающее усилие.

3. Основные расчетные величины и функции

(см. скан)

Для инерционного возмущения в остальных случаях вносится в граничные условия, как заданная сила или перемещение подвижного торцового витка пружины. Передаточные функции и коэффициенты проводимости пружинных фильтров рассмотрены в работе [4].