3. ПАРАМЕТРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Жесткостные и инерционные характеристики. Обычно в зубчатых передачах жесткость зубьев колес значительно больше жесткости других упругих элементов (валов, муфт), что используется для упрощения динамических моделей зубчатых передач [9, 13]. Однако на начальном этапе составления динамической модели для обоснованного ее выбора необходимо располагать расчетными формулами для оценки жесткости всех основных упругих элементов зубчатых передач.

Наибольшую сложность представляет определение жесткости зубьев колес, требующее использования методов теории упругости. Деформация прямых зубьев определяется суммой трех компонент — изгибной деформацией, контактной и деформацией прилежащей к зубу части обода зубчатого колеса. Многочисленные расчеты и эксперименты позволяют рекомендовать следующую приближенную зависимость для определения суммарной деформации прямого зуба [3]:

где нагрузка, действующая на зуб; ширина зубчатого венца; относительное (в долях модуля зацепления) расстояние от точки приложения нагрузки до основания зуба (для нормальной высоты зуба соответствует начальной точке контакта, точке на вершине зуба).

Поскольку точке зуба шестерни (колеса) с координатой соответствует точка зуба колеса (шестерни) с координатой суммарная деформация зубьев, находящихся в зацеплении,

т. е. суммарная деформация зубьев изменяется по параболической зависимости с минимумом в полюсе зацепления

Суммарная жесткость пары зубьев изменяется по фазе зацепления и рассчитывается по формуле

Анализ экспериментальных данных, полученных в работе [16, с. 163], позволил преложить следующую формулу для определения жесткости зубьев по фазе зацепления

которая дает меньшую (на 16%) жесткость в полюсе и большую (на 5%) жесткость в начальной и конечной точках зацепления, чем формула (11).

В некоторых случаях предпочтительнее оказывается тригонометрическая форма записи зависимости (11)

Из формулы (11) можно получить выражение для определения жесткости зубьев в передачах с учетом коэффициента перекрытия :

где относительная координата точки контакта зубьев на линии зацепления, выраженная в долях основного шага и измеренная по линии зацепления соответствует входу пары зубьев в зацепление, началу однопарного зацепления данной пары зубьев; полюсу зацепления; выходу пары зубьев из зацепления).

Расчеты по формуле (12) показывают, что средняя величина суммарной жесткости зубьев зависит от т. е.

при двухпарном зацеплении

при однопарном зацеплении

Из этих формул следует, что независимо от коэффициента перекрытия передачи можно приближенно принимать

Расчетное определение жесткости косых зубьев связано со значительными трудностями [2, 3]. Поскольку повышенная податливость косых зубьев имеет место лишь на небольших участках, прилежащих к торцам зубьев, приближенно можно принять, что жесткость косозубого зубчатого зацепления пропорциональна суммарной длине контактных линий (СДКЛ), находящихся в рассматриваемый момент времени на поле зацепления:

где удельная жесткость прямозубого зацепления; суммарная длина контактных линий.

Если коэффициент торцового или осевого перекрытия в передаче целое число, то СДКЛ является величиной постоянной, т. е.

где ширина зубчатого венпа; угол наклона зубьев на основном цилиндре. В общем случае, когда или не равен целому числу [3],

где переменная часть СДКЛ, зависящая от фазы зацепления; -кратная осевому шагу часть длины зуба; целая часть

Изменение по фазе зацепления СДКЛ приводит к тому, что в соответствии с (13) изменяется и жесткость косозубого зацепления. Изменение жесткости по фазе зацепления характеризуется соотношением [3]

где при осевой шаг целая часть изменение жесткости по фазе зацепления средняя величина жесткости косозубого зацепления. Из формулы (14) следует, что в косозубом зацеплении глубииа модуляции жесткости незначительна пример, при поэтому возникновение параметриского резонанса в нем практически невозможно. Формула также позволяет определить обусловленные периодическим изменением жесткости косозубого зубчатого зацепления возможные амплитуды вынужденных колебаний зубчатых колес, выраженные в долях упругой деформации зубьев.

Зубчатые муфты — важный элемент зубчатых передач, влияющий на динамические характеристики, их изготовляют с эвольвентными зубьями с прямолинейной и криволинейной формой образующих.

Жесткость пары зубьев муфты с учетом изгибной и контактной деформаций зубьев следует определять по формулам [3]:

для зубьев с прямолинейной формой образующих

для зубьев с криволинейной формой образующих

где отношение ширины зубчатого венца к модулю.

При перекосе осей муфт, связанном с деформацией элементов, динамическими процессами в системе или погрешностями монтажа, жесткость пары зубьев в связи со смещением площадки контакта к торцу зуба изменяется и может быть приближенно определена по формуле где расстояние от точки приложения равнодействующей контактных сил до среднего сечения длины зуба; для зубьев с прямолинейной формой образующих для зубьев с криволинейной формой образующих здесь радиус кривизны профиля зуба в продольном сечении; у — угол перекоса осей муфт; координата рассматриваемого зуба по отношению к плоскости перекоса; координирует зуб, находящийся в плоскости перекоса.

Крутильная жесткость зубчатой муфты при номинальном контакте профилей зубьев

— радиус основной окружности зубчатого венца муфты; число зубьев муфты; жесткость пары зубьев.

Эта формула справедлива для зубчатой муфты в неперекошенном состоянии. ели между осями муфт существует угол перекоса у, то жесткость зубчатой муфты

где Кнер — коэффициент неравномерности нагружения зубьев муфты, вызванной перекосом осей [3].

Зубчатая муфта из-за повышенной жесткости зубьев не является шарниром, поэтому при перекосе в ней возникает изгибающий момент. Следовательно, зубчатая муфта может трансформировать изгибные колебания одной части системы в крутильные колебания другой. Изгибная жесткость зубчатой муфты

где коэффициент зависит от жесткости зубьев и числа зубьев муфты, принимающих участие в передаче крутящего момента [3].

Если нагружены все зубья муфты, то, например, для муфты с зубьями, имеющими прямолинейную форму образующей, коэффициент

где средняя деформация зубьев;

В муфте с криволинейной формой образующих зубьев изгибающий момент чительно меньше и, как показали экспериментальные исследования, коэффициент [3].

Рис. 6

Ободья зубчатых колес в ряде случаев выполняют с повышенной податливостью, что позволяет снизить уровень возмущающих сил в зубчатых зацеплениях. Тогда при динамических расчетах зубчатых передач необходимо учитывать податливость ободьев зубчатых колес. В зависимости от конструктивного исполнения ободьев колес можно выделить три расчетные схемы — свободное кольцо (рис. 6, а); кольцо, соединенное с оболочкой (рис. 6, в); кольцо в упругой среде (рис. 6, г).

Общая формула для некоторого элемента упругой лиши кольца и имеет вид

где жесткость кольца на изгиб.

В табл. 2 приведены выражения коэффициентов для различных расчетных моделей обода зубчатого колеса.

В планетарных редукторах ободья центральных колес нагружены равномерно расположенными по окружности усилиями от зубчатых зацеплений. В этом случав действие всех усилий суммируется с учетом взаимного положения этих усилий

2. Коэффициенты упругих перемещений обода зубчатого колеса

(см. скан)

При свободном кольце При кольце, соединенном с оболочкой,

— модули упругости соответственно первого и второго рода материала оболочки; толщина и длина оболочки; жесткость кольца на изгиб, При кольце в упругой среде

где приведенные коэффициенты жесткости упругой среды в радиальном и ташенциальном направлениях.

При динамических расчетах планетарных редукторов необходимо также учитывать жесткость осей сателлитов. В связи с относительно небольшой длиной осей сателлитов определяющими являются деформации овализации (для полых осей сателлитов) и сдвига, нзгибная деформация осей сателлитов оказывает лишь незначительное влияние на суммарную деформацию сателлитного узла [2].

Суммарная деформация опор качения складывается из контактных деформаций качения и колец и контактных деформаций на поверхности посадки колец на вал и в корпус [13]:

Контактная деформация для подшипников средних размеров

где радиальная нагрузка, действующая на подшипник, показатель степени, зависящий от типа тел качения для шариков и для роликов); коэффициент, зависящий от типа подшипника, для шарикоподшипников где диаметр отверстия, для роликоподшипников для конического роликоподшипника нормальной серии ; для двухрядного роликоподшипника с короткими цилиндрическими роликами для однорядного роликоподшипника с короткими цилиндрическими ролики нормальной серии

Контактная деформация

где ширина и наружный диаметр подшипника, см; коэффициент контактной податливости стыка (меньшие значения берут при повышенной точности и больших натягах).

Расчет крутильной и изгибной деформации валов может быть выполнен по соответствующим формулам сопротивления материалов [4].

Вращающиеся зубчатые колеса можно в большинстве случаев рассматривать как элементы с сосредоточенными параметрами. В этом случае момент инерции зубчатого колеса дисковой формы может быть определен по формуле 122]

где у — удельный вес материала зубчатого колеса, соответственно ширина и радиус делительной окружности зубчатого колеса, см.

Масса зубчатого колеса, приведенная к радиусу основной окружности и приходящаяся на единицу ширины зубчатых колес,

поэтому при

и приведенная масса зубчатых колес

диаметр делительной окружности шестерни, см; передаточное число передачи.

При расчете изгибной жесткости ободьев колес кольцевой формы влияние зубьев на повышение жесткости обода учитывается по формуле [2] (см. рис. 6, б)

где минимальная толщина обода (по окружности впадин зубчатого венца); эффективная толщина обода; торцовый модуль зацепления; коэффициент, учитывающий повышение жесткости обода в связи с наличием на нем зубьев, равный коэффициенту радиального зазора в передаче.

При расчете изгибной жесткости ступенчатого вала его следует привести к эквивалентному по жесткости гладкому валу по формуле [24, стр. 91]

где длина и диаметр участка ступенчатого вала.

Возмущающие силы. Характерными для зубчатых передач возмущающими силами являются силы в зубчатых зацеплениях. К ним относятся силы, возникающие при входе зубьев в зацепление в нерасчетной точке (кромочный удар силы, возникающие в связи с периодическим изменением числа зубьев, передающих крутящий момент; силы, возникающие при одновременном проявлении обоих факторов (кромочным взаимодействием зубьев и периодическим изменением числа зубьев, передающих крутящий момент).

Зубья колес в связи с погрешностями шагов зубчатых колес и упругими деформациями зубьев входят в контакт не на линии зацепления, а в некоторой нерасчетной точке, в результате чего между вступившими в контакт профилями зубьев не будет общей нормали, т. е. образуется относительное движение зубчатых колес. Таким образом, контакт зубьев колес в нерасчетной точке сводится к рассмотрению удара

между зубчатыми колесами, связанному с мгновенным сообщением колесу некоторой Убыточной скорости. Величина этой скорости в зубчатом зацеплении зависит как от приведенной погрешности зацепления

так и от скоростных и кинематических параметров передачи

где разность основных шагов зацепляющих зубьев; упругая деформация вступившей в контакт пары зубьев, связанная с нагружением в этот момент времени впереди идущей пары зубьев; угловая скорость колес; приведенный радиус кривизны вступивших в контакт профилей зубьев, — здесь радиусы кривизны профилей зубьев в нерасчетной точке контакта.

В этом случае динамическое состояние зубчатой пары описывается однородным дифференциальным уравнением

с неоднородными начальными условиями где С — жесткость зубьев в точке контакта; приведенная к основной окружности масса зацепляющихся колес; а — относительное смещение профилей зубьев, измеренное вдоль линии зацепления.

Указанное импульсное воздействие на систему повторяется с губцовой частотой скорость и число зубьев ведущего колеса), что приводит к возникновению колебаний зубчатых колес по закону [21]

справедливому для где период зубцовой частоты; собственная частота системы; круговая частота приложения импульсов.

Формулой (18) следует пользоваться, если длительность действия импульса (время, необходимое для перемещения точки контакта зубьев на линию зацепления) не превосходит периода свободных колебаний системы (соответствующая погрешность в амплитуде смещения составит Для зубчатой передачи

где модуль зацепления.

Входящее в эту формулу отношение обычно не превосходит 0,1, поэтому в общем случае для зубчатых передач необходимо учитывать конечность интервала выхода контакта с нерабочей точки на линию зацепления.

Как следует из (18), при целое число) в системе возникает Резонанс. Частота свободных колебаний зубчатой пары [23, с. 133]

где диаметр делительной окружности колеса, см; передаточное число, Следовательно, резонансные скорости вращения ведущего колеса

где модуль зацепления, передаточное число; числа зубьев шестерни и колеса;

После встречи профилей зубьев зубчатых передач вне расчетной точки нормальная составляющая скорости равномерно уменьшается и становится равной нулю в момент выхода точки контакта зубьев на линию зецепления. На этом интервале времени действие постоянной силы препятствует сближению зубьев колес после удара [1], что приводит к замедленному увеличению динамической нагрузки в зацеплении с возрастанием скорости зубчатых колес.

Итак, в прямозубом зацеплении действуют следующие возбуждающие факторы: периодические импульсы, связанные со встречей зубьев в нерасчетной точке со скоростью периодические инерционные силы связанные с уменьшением скорости от до на нерасчетном участке контактирования зубьев; периодические силы, связанные с изменением числа зубьев, принимающих участие в передаче крутящего момента (рис. 7).

Рис. 7

Рис. 8

Последняя составляющая реализуется лишь в том случае, если изменение жесткости по фазе зацепления не вызывает в системе параметрических колебаний и поэтому может рассматриваться лишь как дополнительная возмущающая сила.

В общем случае следует исследовать движение системы на устойчивость в связи с возможностью возникновения в ней параметрических колебаний. Независимо от величины коэффициента перекрытия прямозубой передачи в системе при отсутствии трения возникает параметрический резонанс при соблюдении условия

где собственная частота системы; частота пульсации жесткости зацепления (зубцовая частота); целое число. При наличии трения в системе необходима достаточно большая глубина модуляции жесткости, при которой в системе возникнет параметрический резонанс. Этим объясняется ограниченное число случаев, в которых обнаруживался параметрический резонанс в прямозубых зубчатых передачах [8, с. 56].

В косозубых передачах действуют следующие возмущаюшие факторы-, периодическое изменение жесткости по фазе зацепления; постоянная и переменная составляющие прогрешности шагов зацепляющихся зубьев. В широких косозубых колесах изменение жесткости зубьев по фазе зацепления не приводит к возникновению параметрических колебаний в системе, и может рассматриваться как возмущающий фактор. В зависимости от величины суммы дробных частей осевого и торцового а коэффициентов перекрытия (меньше или больше единицы) изменение по фазе зацепления

СДКЛ происходит по показанным на рис. 8 графикам [141. Возмущающую силу, обусловленную проявлением этого фактора, можно представить в виде тригонометрического ряда

где статическая нагрузка в зацеплении.

Из формулы (20) следует, что амплитуды четных гармоник возмущающей силы обращаются в нуль, если коэффициенты осевого или торцового перекрытия удовлетворяют соотношению где

Перекос между образующими зубьев косозубых колес приводит к дополнительной возмущающей силе, гармоника которой может быть также получена из (20) домножением на коэффициент [6]:

где просвет в средней точке длины зубчатого венца; средняя деформация пары контактирующих зубьев.

Постоянная составляющая погрешности шагов приводит к появлению в системе периодической возмущающей силы, действующей с зубцовой частотой. Переменная составляющая погрешности шагов (циклическая погрешность колес) приводит к появлению в системе периодической возмущающей силы, в спектре которой присутствуют гармоники оборотная частота, причем зубцовая частота в данном случае отсутствует [14].

Зубчатые муфты, применяемые в зубчатых передачах, также могут быть источниками возникновения колебаний в связи с неуравновешенностью элементов муфты, накопленной погрешностью окружных шагов (зубчатых венцов полумуфт); погрешностью соседних шагов зубчатых венцов полумуфт [25, стр. 184]. Частоты действия возмущающих сил в зубчатой муфте равны оборотной частоте со и зубцовой частоте число зубьев в муфте).

В планетарных редукторах с плавающей подвеской центральных колес появляются дополнительные возмущающие силы, обусловленные тем, что в процессе компенсации погрешностей зубчатых зацеплений плавающие центральные колеса смещаются с оси вращения, что приводит к возникновению инерционных сил, действующих на элементы редуктора.

Демпфирующие силы в зубчатых передачах следует рассматривать на резонансных режимах, они связаны в основном с рассеиванием энергии в кинематических парах (зубчатые зацепления, зубчатые муфты, подшипники и т. д.).

Теоретическое определение рассеивания колебательной энергии в элементах зубчатых передач чрезвычайно затруднительно, поэтому наиболее эффективны экспериментальные методы определения логарифмического декремента колебания.

Для простейшей одномассовой колебательной системы логарифмический декремент колебания может быть определен из экспериментально полученной амплитудно-частотной характеристики по формуле

где резонансная частота, амплитуда колебаний на которой равна Лрез, астоты, близкие к амплитуды колебаний на которых равны Эту формулу используют и при анализе экспериментальных данных сложных систем оольшим числом степеней свободы, если есть уверенность в существовании слабых вязей между подсистемами.

Обработанные по формуле (21) многочисленные экспериментальные данные, полученные на переборных и планетарных редукторах, показали [6], что в зубчатых

зацеплениях коэффициент затухания причем меньшие значения а относятся к большим, а большие значения а к меньшим резонансным частотам. В опорах скольжения величина коэффициента затухания Для опор качения для роликовых опор [19]. В зубчатых муфтах, подобно шпоночным соединениям, при наличии проскальзывания между зубьями.