3. ТОНКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО. ОСЕСИММЕТРИЧНОГО СЕЧЕНИЯ БЕЗ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ

Для таких стержней следует положить

где коэффициент Пуассона.

Параметр т. е. результаты пригодны для где наружный диаметр стержня.

Предварительная нагрузка отсутствует, т. е.

Полагая уравнения (15) можно упростить:

Стержни конкретных форм. Расчет 1. Тест: спираль (рис. 4), угол подъема число витков оба конца заделаны, Этот случай целесообразно использовать как тест для проверки алгоритма,

1. Собственные частоты

(см. скан)

Форма оси задается соотношениями

Значения собственных частот приведены в табл. 1, из анализа которой следует, что спектр частот очень плотный (сравните со спектром рис. 3, 11),

Расчет 2. Вычисление собственных частот для стержня, показанного на рис. 5.

Рис. 4

Рис. 5

Рассмотрим три варианта закрепления концов: при заделка; при свободный конец, б) сферический шарнир, в) заделка, ; точность

Форма оси задается соотношениями

Значения собственных частот приведены в табл. 2.

Собственная форма определяется двенадцатью функциями их на рис. 6, а-в приведены только три компоненты смещений для некоторых найденных частот.

2. Собственные частоты

(см. скан)

Изменения спектров при изменении формы стержней с одним геометрическим параметром. Расчет 3. Задача о колебаниях круговой арки (рис. 7). Исследуются изменения пяти низших частот при изгибании прямого стержня по дуге окружности. Длина стержня сохраняется постоянной, центральный угол увеличивается от до при этом радиус соответственно уменьшается. Оба конца заделаны,

Форма оси задается соотношениями Зависимости а, от показаны на рис. 7. Кривые 1, 3, 5 соответствуют колебаниям по нормали, а кривые 2, 4 — в плоскости кольца.

Собственные формы не приводятся. При их расчете удобнее рассматривать системы уравнений в плоскости кольца и по нормали к нему о 1 дельно. Для каждой системы спектр в среднем становится вдвое более редким, и следует положить

Рис. 7

Рис. 8

При использовании общего алгоритма необходимо следить, которую из строк следует выкинуть из системы (22), так как определитель имеет Жорданову форму.

Кружками при отмечены известные частоты прямого стержня. Четвертая частота отлична от них вследствие запрещения продольного перемещения, а не продольной силы.

Штриховые участки кривых 1 к 2 можно получить с небольшой ошибкой пересчетом данных, приведенных в работе [9] и рассчитанных по методу Ритца.

Расчет 4. Изменение пяти низших частот при сохранении общей конфигурации стержня и изменения кривизн отдельных участков. Рассмотрим стержень, показанный на рис. 8, а. Общая длина стержня равна единице, длины прямых участков меняются от 1/3 до 0, при этом радиусы закруглений меняются от до Оба ксниа заделаны,

форма оси определяется соотношениями

Изменения частот от параметра показано на рис. 8, б. Частоты 4 и 5 очень близки во всем диапазоне, например при хотя их формы существенно отличаются.

Общий вывод состоит в том, что при сохранении общей конфигурации стержня спектр меняется мало. Чем выше частота, тем сильнее зависит она от локальных изменений, а на низшие частоты детали формы почти не оказывают влияния.

Рис. 8

Наличие двух точек излома при не вносит никаких затруднений в вычислительный процесс.

Изменение спектров при изменениях формы стержней с двумя геометрическими параметрами. Расчет 5. Спираль с небольшим числом витков (см. рис. 4). Результаты могут быть использованы при расчете колебаний пружин с малым числом витков, работающих на сжатие [6]. Для пружин с большим числом витков справедливы асимптотические формулы.

Точность число шагов интегрирования увеличивается с числом витков Оба конца заделаны.

Форма спирали описывается соотношениями (25), определяется двумя существенными параметрами углом подъема ; и числом витков К. Для заданного значения ; рассчитаны номограммы собственных значений а, в зависимости от К.

На рис. 9 показаны зависимости для Коэффициент Пуассона Увеличение числа витков на этой номограмме интерпретируется как закручивание спирали вокруг оси при неизменной длине оси. При этом высота остается постоянной, а диаметр уменьшается (см. рис. 4),

Кружками при на рис. 9 отмечены частоты прямого стержня, а штриховые линии построены по асимптотическим формулам, полученным по методу эквивалентного бруса для разных типов колебаний: крутильного

продольного

изгибного

соответствуют частотам прямого заделанного по концам стержня

В случае колебаний крутильного типа кривые к полученные численно и по формуле (26) для в пределах точности графиков «совпадают (показаны штриховыми линиями). Аналогично и для колебаний продольного типа (кривые

Рис. 9

В отличие от формул (26) и (27) формулу (28) нельзя использовать для сращивания точного (численного) и асимптотического решений (кривые Для этой цели достаточную точность дает аппроксимационная формула, полученная на основе некоторых численных результатов:

где К — число витков; угол подъема, градусы,

рассчитаны по (28). Определяющим параметром является произведение так как одному значению этого параметра соответствуют сходные собственные формы (рис.

Формула (29) определяет пары частот колебаний изгибного типа, которые при соответствуют колебаниям в различных плоскостях.

Влияние предварительной нагрузки. Уравнения моментов в системе (24) дополняются членами, учитывающими предварительные нагрузки [см. (15)]:

Расчет 6. Тест: спираль, угол подъема число витков [10].

Форма оси описывается соотношениями (25). Оба конца заделаны;

На рис. 11 приведены зависимости кружками при отмечены значениям, взятые из расчета 1. Значение при котором низшая частота обращается в нуль, соответствует первичной потере устойчивцсти. Интерпретировать результаты рис. 11 следует так: взяты спирали (пружины) разной высоты и приблизительно одинакового диаметра затем они сжимаются так, что внешне становятся одинаковыми но сжимающие усилия в них различны, например, величине соответствует ненагруженная пружина

Рис. 10 (см. скан)

Критическая нагрузка, соответствующая потере устойчивости при сжатии, для рассмотренной пружины, рассчитанная по методу эквивалентного бруса, в безразмерном вике [10]

Рис. 11

Присоединенные массы. Колебания стержней с присоединенными массивными телами (рис. 12) рассчитываются следующим образом: на участке замещения стержня твердым телом вводится фиктивный участок с нулевой погонной массой и бесконечной жесткостью:

присоединенное тело характеризуется массой и вектором проведенным из выбранной точки оси к центру тяжести тела (рис. 12, а).

В точке возникают скачки усилия и момента, амплитудные значения которых в безразмерном виде определяются по следующим формулам [71:

векторы

Вектор в декартовой системе координат с ортами имеет вид

а уравнения (30) в скалярной форме записываются так:

Для учета инерции поворота тела удобнее всего заменить его шестимассовой системой (рис. 12, б) с такими же массовыми моментами инерции, и для каждой массы применить формулы (31),

Рис. 12

При три частоты, соответствующие трем степеням свободы тела, стремятся к нулю, а центр тяжести превращается в промежуточную шарнирную опору.

Расчет 7. Тест: спираль, угол подъема число витков форма оси задается соотношениями (25). Стержень тонкий и ненагруженный

Рис. 13

Рис. 14

Точечная масса, расположенная на оси присоединена в точке (см. рис, 4), Изменения пяти низших частот показаны на рис. 13.

При присоединенную массу можно не учитывать. При определении трех низших частот и массу стержня можно не учитывать, и тогда движение точечной массы описывается уравнением

откуда где Безразмерные жесткости определенные при Зная эти величины и значения а; (0), взятые из табл. 1, можно нижние три частоты с достаточной точностью определять по аппроксимационной формуле

полученной по аналогии с формулой Донкерлн [2].

Значения рассчитанные по формулам (32), отмечены на рис. 13 звездочками. Собственные формы (компоненты смещения) для при показаны на рис. 14.