6. МЕТОД РАСЧЕТА ЧАСТОТ И ФОРМ СВОБОДНЫХ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ РОТОР-КОРПУС—ПОДВЕСКА

Основные положения. Предполагается осевая симметрия системы и отсутствие демпфирования. Частоты и формы свободных колебаний системы вращающиеся роторы—корпус—подвеска определяются как частоты и формы поперечных собственных колебаний фиктивной системы невращающиеся роторы—корпус—подвеска. Фиктивная система отличается от действительной тем, что массовые моменты ее дисков заменяются приведенными.

Для жесткого диска с лопатками приведенный момент инерции [48]

массовые полярный и экваториальный моменты инерции дисков относительно его центральных осей; X — коэффициент прецессирования вала.

где - абсолютная угловая скорость вращения вала, на котором установлен диск; угловая скорость прецессирования упругой линии вала.

Величина X может быть как положительной, так и отрицательной. Знак к показывает, в каком направлении происходит прецессирование упругой линии. При прямой и обратной синхронных прецессиях X равно 1 и —1 соответственно.

Для ротора с гибкими дисками или гибкими лопатками приведенный момент инерции может быть определен путем специального расчета вынужденных колебаний прецессирующего диска [76].

Из всех возможных форм собственных колебаний вращающихся роторов исследуемой системы рассматриваются только такие, которые имеют возбуждающие нагрузки, могущие вызвать резонансы системы. Такими нагрузками являются неуравновешенные силы и моменты роторов.

Резонансы системы разбиваются на группы. В каждой группе резонансов рассматривается возбуждение колебаний одним из роторов (базовым). При таком возбуждении базовый ротор находится в режиме прямой синхронной прецессии, а остальные — в режимах несинхронных прецессий с частотами и направлениями прецессирования, равными частоте и направлению вращения базового ротора. Остальные, теоретически существующие формы колебаний не рассматриваются вследствие малой практической значимости.

Число расчетов, необходимых для определения спектра резонансных режимов, равно числу роторов, имеющих различные частоты вращения, так как каждая группа резонансов имеет свою расчетную схему, отличающуюся от других значениями приведенных моментов инерции дисков.

Коэффициенты прецессирования X как функции частот вращений базовых роторов задаются в основных данных двигателей. Они зависят от параметров работы объекта — высоты, скорости, температуры. Поэтому от этих параметров зависят и частоты резонансных режимов.

Свободные колебания системы ротор—корпус—подвеска. В практических расчетах применяются методы интегральных уравнений [7, 23], начальных параметров [6, 15], дивамических жесткостей [15, 25, 26, 57], динамических податливостей [3, 30, 38] и др.

Одним из методов, позволяющих при расчетах проводить анализ динамических характеристик отдельных узлов, является обобщенный метод динамических податливостей и начальных параметров. Система ротор—корпус—подвеска разбивается на подсистемы — корпус с подвеской и роторы, свободные от закрепления. Податливости упругих безынерционных связей роторов с корпусом и между собой относятся к какой-либо из подсистем. Роторы компрессора и турбины одного каскада,

сочлененные идеальным шарниром, рассматриваются как две подсистемы с абсолютно жесткой силовой связью. При упругом шарнире такие роторы схематизируются в виде одной подсистемы.

На рис. 17 показана расчетная схема двухвального двигателя. Она состоит из четырех подсистем — роторов компрессора турбины II низкого давления, соединенных идеальным шарниром 3; ротора высокого давления III; корпуса на подвесках IV. Римскими цифрами обозначены подсистемы, а арабскими — сечення, в которых они сочленяются связями, силы в которых при свободных колебаниях

Динамические податливости подсистемы необходимо полечить для составления частотного уравнения системы. Они обозначаются ем где индекс подсистемы, номера сечений сопряжения ее со смежными подсистемами. Податливости могут быть определены различными методами [11, 38, 57], в том числе обобщенным методом динамических податливостей и начальных параметров.

Рис. 17

Рассматриваемая подсистема расчленяется на ряд элементов, границами которых являются сечения расположения сосредоточенных масс и дисков, сечения опор, пояса жесткости и т. д. Поочередно в сечениях сопряжения рассматриваемой и смежных подсистем прикладывают единичные возбуждающие силы с частотой и направлением вращения, равными этим характеристикам у базового ротора, а затем определяют перемещение характерных сечений подсистемы. Они равны искомым динамическим податливостям. Расчет ведут методом начальных параметров от какого-либо крайнего сечения подсистемы.

Традиционный метод начальных параметров, разработанный для колебаний стержневых систем, распространяется и на системы, включающие тонкостенные элементы. Положение характерных сечений системы и внутренние силовые факторы в них, так же как и в стержневых системах, характеризуются четырьмя величинами — прогибом у, углом поворота сечения изгибающим моментом и перерезывающей силой Амплитудные значения этих величин составляют четырехмерный вектор

Матричное уравнение перехода от сечения к сечению какого-либо участка подсистемы имеет вид

где матрица перехода через элемент расчетной схемы.

Характерными элементами являются упругий безынерционный элемент длиной I с известными статическими податливостями (оболочка, кольцо, пластина, стержень и т. д.), точечная масса вращающийся прецессирующий диск, обладающий массой и приведенным моментом инерции стержень с распределенной массой, упругая опора, упругий шарнир, гармоническая сила или момент и т. д.

Схемы таких элементов и матрицы перехода приведены в табл. 3. Правило знаков принято таким, как показано на рис. 18.

Рис. 18

Граничные условия и последовательность расчета. Начальные условия в нулевом сечении первого элемента выбирают по условиям закрепления и нагружения. Во всех случаях из четырех параметров неизвестными являются два, а два остальных или равны нулю или выражаются через два других параметра. Вектор — столбец конечных параметров получается после перехода через все элементы подсистемы.

(см. скан)

Так как в векторе-столбце конечных параметров два параметра известны, то из получаемого уравнения можно найти два неизвестных начальных параметра, а затем, располагая их значениями, — и перемещения подсистемы в сечениях связей, которые численно равны искомым динамическим податливостям.

Определение частот свободных колебаний вращающихся роторов на абсолютно жестких опорах. В процессе проектирования двигателей полезно располагать сведениями о порциальных частотах роторов, входящих как подсистемы в общую расчетную схему двигателя. С этой целью обычно определяются критические скорости роторов, вращающихся в абсолютно жестких опорах. Эти сведения дают косвенную информацию о возможности появления значительных прогибов роторов при работе на резонансных режимах системы роторы—корпус—подвеска и позволяют наметить наиболее целесообразные способы балансировки роторов.

Рис. 19

Если частоты свободных колебаний значительно превышают максимальные частоты вращения ротора, то можно ожидать, что его прогибы на резонансных режимах системы роторы—корпус—подвеска будут малы, и его можно балансировать как жесткий. В противном случае на резонансных режимах возможно появление значительных прогибов, что требует усложнения процесса балансировки, а также введения в конструкцию упругодемпферных устройств.

При известных динамических податливостях роторов, свободных от закрепления, их критические частоты вращения на абсолютно жестких опорах находятся из выражения где матрица динамических податливостей в сечениях опор рассматриваемого ротора.

Для определения критических скоростей роторов, помещенных на абсолютно жесткие опоры, можно использовать и любые иные точные или приближенные методы.

Частотное уравнение системы роторы—корпус—подвеска. Располагая динамическими податливостями подсистем, можно составить матрицу динамических податливостей системы. Она имеет следующий вид:

где индексы обозначают номера связей между подсистемами; первый индекс определяет перемещение, второй — силу, действующую в связи.

В общем случае система ротор—корпус—подвеска является -связанной системой, состоящей из отдельных подсистем. Пусть две произвольные подсистемы соединены между собой только одной связью (рис. 19, а). Тогда главные динамические податливости где соответственно первая и вторая подсистемы.

Побочные динамические податливости определяются для каждой подсистемы независимо: Если две произвольные подсистемы соединены между собой двумя связями с индексами (рис. 19, б), то Остальные побочные динамические податливости определяются также для каждой изолированной подсистемы. Например,

Аналогичные формулы получаются и для двух произвольных подсистем с числом связей больше двух. Некоторые из подсистем не связаны непосредственно между собой. В таком случае побочные динамические податливости равны нулю. Например, для системы, изображенной на рис. 17, .

Элементы матрицы являются функциями упругоинерционных свойств подсистем, частоты вращения базового ротора и коэффициентов прецессии роторов.

Частотное уравнение системы имеет вид

Определение форм свободных колебаний системы роторы—корпус—подвеска. Силы в связях при каждой собственной частоте определяются общеизвестными методами из уравнений где

Обращая матрицу определяют перемещения, соответствующие найденным силам в связях, и строят формы свободных колебаний.

Рис. 20

Анализ форм свободных колебаний дает возможность выявить наиболее напряженные элементы конструкции, максимальные амплитуды колебаний, наивыгоднейшее расположение демпферных устройств, а также позволяет в случае необходимости произвести частотную отстройку. На рис. 20 показана одна из форм свободных колебаний двухвального двигателя.

Особенности расчета системы роторы—корпус—подвеска с учетом демпфирования. Расчеты вынужденных колебаний двигателя с учетом демпфирования весьма приближенны из-за недостаточности данных по демпфированию.

Обычно предполагается, что демпфирование системы сосредоточено в нескольких элементах—демпферах (если они имеются), подвесках, связях подсистем и т. д.

В большинстве случаев используются гипотезы вязкого или частотно-независимого трения. При использовании первой гипотезы для расчета может быть применен рассматриваемый метод расчета с представлением динамических податливостей в комплексном виде [26].