5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания стержней при наличии вязкого трения описываются уравнениями (2), Решение имеет вид

Для тонких ненагруженных стержней осесимметричного сечения получают следующую систему уравнений относительно безразмерных амплитудных функций:

где

При отсутствии трения система (34) распадается на две подсистемы. Вторая имеет только тривиальное решение, а первая отличается от системы (22) тем, что параметр известен и присутствует правая часть Система интегрируется аналогично (16), т. е. сначала рассчитывается матрица при а за тем находится частное решение у для заданного при нулевых начальных условиях В результате получается неоднородная линейная алгебраическая система 6-го порядка:

Решая ее и интегрируя подсистему с этимн начальными значениями, находят форму вынужденных колебаний. При определитель обращается в а решение — в бесконечность.

При наличии трения система (34) не распадается, и ее приходится интегрировать полностью. Прн этом метод решения остается прежним, только удваивается порядок системы и определитель никогда не обращается в нуль. В результате расчета получается резонансная кривая (частотная характеристика). На рис. 16 приведены примеры таких характеристик для безразмерной интенсивности напряжений Рассмотрен плоский стержень, показанный на рисунке, заделки колеблются в плоскости оси стержня под углом к оси х. Сплошная кривая соответствует штриховая — Такое возбуждение называется кинематическим.

В случае малого сопротивления достаточно точные результаты дает приближенный метод, основанный на предположении постоянства угла сдвига фазы. Точное решение показывает, что угол сдвига фазы

во-первых, является функция а во-вторых, несколько отличается для различных компонент и для разных функций

Рис. 16

Однако, зависимости всегда имеют специфический вид (рис. 17) расчетах можно использовать эффективное значение равное значению этнх функций на плато. Рис. 17 соответствует резонансной частоте, поэтому

Рис. 17

Рис. 18

Приближенное решение записывается в виде разложения по собственным функциям:

собственные функции.

При учете ортогональности собственных функций 1

задача сводится к аналогичной задаче с одной степенью свободы, в результате решения которой получается

На рис. 18 показан первый резонансный пик кривой, изображенной на рис. 16, в крупном масштабе для сплошная кривая получена численно, а кружки соответствуют значениям, подсчитанным по формулам (36).

3. Значения собственных частот, максимальных напряжений и углов

(см. скан)

При кинематическом возбуждении колебаний нагрузка сводится к двум реакциям опор, поэтому

где смещения заделок вместе с концами стержня.

Последняя формула позволяет исследовать зависимость величины резонансного пика от направления возбуждения. Для стержня, показанного на рис. 16, максимальные значения а приведены в табл. 3.

Собственные значения соответствуют колебаниям по нормали к плоскости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)