Глава I. РЕАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ И РАСЧЕТНАЯ СХЕМА (РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ)

Общее замечание. При исследовании различных объектов техники — машин и разнообразных инженерных конструкций — возникает необходимость составления некоторой «идеализированной» схемы объекта. Реальные машины и конструкции имеют разнообразные физические свойства и несовершенства всякого рода (зазоры в сочленениях, трение, гистерезисные свойства, сложная форма деталей и др.), не всегда поддающиеся теоретическому описанию. Для математического анализа и расчета необходима ясность схемы и какое-то конечное число учитываемых исходных свойств, которое не охватывает все множество свойств реального объекта, но заключает в себе его существенное, главное. Так возникает расчетная схема или расчетная модель, только благадаря которой возможно математическое описание объекта и его расчет.

Расчетноя схема (или модель) нужна в двух случаях: во-первых, при проектировании нового объекта, когда необходимо заранее теоретически определить его характеристики (для колебательной системы — амплитудно-частотные или фазово-частотные характеристики, импеданцы и др.), во-вторых, при наличии готового, действующего объекта, когда на основании его поведения нужно выбрать ту расчетную схему (модель), которая наиболее хорошо отражает свойства этого объекта.

1. ВЫБОР РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ОБЪЕКТА

Расчет частот и форм свободных колебаний, анализ динамической устойчивости и определение вынужденных колебаний для какого-либо проектируемого реального объекта всегда начинается с выбора расчетной схемы. Прежде всего следует установить, что является существенным и что несущественно для решения поставленной задачи; необходимо отбросить все то, что не Может сколько-нибудь заметным образом повлиять на результаты исследования. Схематизация объекта совершенно необходима, так как решение чадачй с полным учетом всех свойств реального объекта осуществить принципиально невозможно.

Пои расчетах на прочность, например, схематизируют свойства материала, из которого изготовляют детали и конструкции. Материал принимают в виде однородной сплошной среды, которая наделяется свойствами упругости, пластичности, ползучести. В зависимости от свойств сплошную среду принимают изотропной или анизотропной. Геометрическая форма реальных объектов, рассматриваемых в сопротивлении материалов, отражается, как правило, в схеме бруса, пластинки или оболочки.

Прн решении задач динамики, в частности колебаний, приходится схематизировать физические явления и свойства упругих элементов. Например, силы сопротивления движению обычно принимают пропорциональными скорости или не зависящими от скорости (силы трения без смазки), хотя в действительности таких сил нет. Силы, возникающие в упругих элементах, при малых колебаниях считают линейно зависящими от координат. Схематизируются и свойства жидкости — она принимается вязкой или невязкой, сжимаемой или несжимаемой; схематизируются свойства упругого основания железнодорожного пути, колес автомобиля, крыльев самолета, подшипников скольжения и качения и т. д.

Наряду со схематизацией физических явлений и свойств отдельных элементов колебательных систем установление расчетной схемы в теории колебаний во многом обусловлено выбором числа степеней свободы.

При рассмотрении физической системы определение числа степеней свободы и соответствующих им обобщенных координат представляет иногда довольно сложную задачу, так как, строго говоря, мы всегда имеем дело с системой, обладающей бесконечным числом степеней свободы. Для одной и той же системы может быть предложено несколько расчетных схем в зависимости начальных условий, требуемой точности, характера действующих сил и задач исследования.

Рассмотрим, например, одну из простейших колебательных систем — груз, подвешенный на нити. Ответ на вопрос о том, сколько степеней свободы имеет эта система, зависит от ее физических свойств и от того, что мы собираемся исследовать в ней. Если размеры груза малы по сравнению с длиной нити и движения груза относительно нити несущественны, если нить можно считать недеформируемой, т. е. постоянной длины и прямолинейной, тогда можно рассматривать такую систему как математический маятник, т. е. как систему с двумя степенями свободы. Груз в виде материальной точки может двигаться по сфере, и для однозначного определения ее положения необходимо знать две независимые координаты. Если, кроме того, будут заданы начальные условия, при которых нить во время колебаний будет находиться в определенной плоскости, то для определения положения такой системы достаточно одной координаты.

При выборе расчетной схемы мы пренебрегли растяжением нити при колебаниях, так как оно мало и не оказывает существенного влияния на маятниковые колебания груза. Однако, как известно, есть такой случай, при котором этим малым растяжением иити нельзя пренебрегать. Это случай, когда частота вертикальных колебаний материальной точки, обусловленных растяжением-сжатием иити, будет равна или в 2 раза больше частоты маятниковых колебаний. В такой системе при возбуждении маятниковых колебаний в какой-либо плоскости нить будет периодически удлиняться и укорачиваться, система приближенно будет вести себя как маятник с переменной длиной. Длина маятника изменяется с такой частотой, что возможен параметрический резонанс. Вертикальные колебания растяжения-сжатия будут переходить в маятниковые колебания, и наоборот, Таким образом, в данном случае схема с одной степенью свободы не годится.

Теперь несколько видоизменим колебательную систему: представим ее в виде груза, подвешенного на пружине, причем на груз действует/армоническая внешняя сила и он, удерживаемый направляющими, может двигаться только по вертикали. Какой должна быть расчетная схема, сколькими степенями свободы надо наделить систему, чтобы найти движение груза? Ответ на эти вопросы зависит от ряда условий и прежде всего от соотношения между частотой изменения внешней силы и собственными частотами системы. Начальные условия никаких особенностей здесь не вносят.

Несвободная система имеет столько собственных частот, сколько она имеет степеней свободы. Пренебрежение некоторыми степенями свободы допустимо только в тех случаях, когда эти степени свободы связаны с частотами, значительно отличающимися по величине от частоты изменения внешней силк или от тех частот, с которыми колеблется системна при данных начальных условиях.

Когда собственные частоты пружины как системы с распределенными параметрами значительно ниже частоты изменения внешней силы, то движение груза можно выразить одной обобщенной координатой, прйем, если масса пружины мала по сравнению с массой груза, за расчетную схему обычно принимают груз, подвешенный на невесомой пружине. Если масса пружины соизмерима с массой груза и частота изменения внешней силы при этом близка к величине (с — жесткость пружины), то необходимо учесть и часть массы пружины. Принимая перемещения витков пружины пропорциональными расстоянию от точки подвеса, получим более точную формулу для вычисления собственной частоты системы:

Если частота изменения внешней силы соизмерима с частотами свободных колебаний растяжения-сжатия пружины, то расчетная схема с одной степенью свободы оказывается неприемлемой; тогда необходимо учесть степени свободы, обусловленные колебаниями растяжения-сжатия пружины как упругой системы с распределенными параметрами. Число таких степеней свободы, естественно, зависит от соотношения частоты тона собственных колебаний пружины.

При колебаниях в процессе сжатия пружина может терять устойчивость — изгибаться. Известно, что потеря устойчивости в подобном случае происходит тогда, когда частота изменения внешней силы в 2 раза больше, равна или кратна частоте свободных изгибных упругих колебаний пружины (параметрическое возбуждение колебаний). Если частоты и удовлетворяют указанному соотношению, то в расчетную схему необходимо ввести дополнительные степени свободы, учитывающие изгибные колебания пружины как упругой системы с распределенными параметрами.

При выборе расчетной схемы для решения задачи о вынужденных колебаниях груза, укрепленного на упругой консольной балке, имеются особенности. Простейшей расчетной схемой может быть система с одной степенью свободы в виде точечной массы, подвешенной на невесомой упругой балке. Схема соответствует низшей (основной) частоте свободных колебаний, которая в данном случае будет определена с завышением. Уточнить основную собственную частоту можно путем присоединения к массе груза части массы балки и учета момента инерции груза относительно оси, проходящей через нейтральную линию балки. Если необходимо учитывать изгибные колебания балки с более; высокими собственными частотами, то в основу расчета надо положить уравнения поперечных колебаний упругой балки. Для длинной балки в уравнениях можно не учитывать перерезывающие силы и моменты инерции поперечных сечений балки:

где модуль упругости; соответственно момент инерции и площадь поперечного сечения балки; плотность материала; у — прогиб.

Для короткой балки надо учитывать деформацию сдвига и инерцию вращения поперечных сечений. Уравнения поперечных колебаний балки в последнем случае можно принять в виде

где модуль сдвига; числовой коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.

Влияние груза должно быть учтено в граничном условии в виде силы инерции, или в виде силы и момента сил инерции.

Выбор тех обобщенных координат, которые должны учитываться (или которыми можно пренебречь), зависит также от характера действующих сил. Если, например, известно, что на некоторый вал с дисками, передающий вращающий момент, изгибающие силы не будут действовать, то изгибными колебаниями и, следовательно, соответствующими им координатами можно пренебречь, так как эти колебания не будут возбуждаться, и для вала останутся только крутильные колебания. В другом случае, наоборот, может оказаться, что в некотором диапазоне частот действующих сил существенны изгибные колебания, а крутильные колебания, частоты которых оказываются за пределами этого диапазона, не будут играть роли в рассматриваемой задаче; тогда расчетная схема будет отражать только изгибные колебания.

Для анализа колебаний более сложных механических систем также приходится выделять расчетные схемы, соответствующие задачам исследования. Приведем примеры.

При рассмотрении валов турбомашин достаточную точность дает классическая теория гибкого вала, основанная на рассмотрении «малых» изгибных перемещений и линейных соотношений между силами и перемещениями, По этой теории

критические частоты вращения могут быть определены в предположении недемпфированной системы. Однако, если нужно анализировать устойчивость движения в закритической области вращения, то необходимо учитывать внутреннее и внешнее трение. Внутреннее трение, т. е. трение между вращающимися элементами, в закритической области порождает неустойчивость, а внешнее трение, т. е. трение между вращающимися и неподвижной частями, способствует повышению устойчивости, отодвигая границу области неустойчивости в сторону больших частот вращения. При этом небезразличен закон внутреннего трения, и его нужно выбирать, основываясь на существующих опытах. Для ротора с тонким вертикальным валом с тяжелыми сосредоточенными грузами оказывается более справедливой расчетная схема, учитывающая продольные силы. Она приводит к смещению спектра в сторону повышения частот при подвешенном роторе и в сторону снижения частот при опертом снизу роторе, а кроме того к некоторым нелинейным эффектам.

Во многих роторах возникают явления, связанные с потерей устойчивости в масляном слое подшипников скольжения, ввиду чего врасчетную схему вводятся гидродинамические силы подшипника скольжения.

При расчете лопаток турбин широкое распространение имеет «стержневая» теория, согласно которой лопатка рассматривается как плоская или в более сложных случаях как закрученная узкая пластина-стержень, что дает достаточно удовлетворительный результат нанекоторой части спектра собственных частот и позволяет найти как изгибиые, так и крутильные формы колебаний лопатки. В связи с дальнейшим развитием конструкций расчетная схема лопатки усложняется — ее рассматривают как широкую пластину, а затем — как оболочку (это характерно для широких лопастей поворотно-лопастных гидротурбин).

Усложнением расчетной схемы явился также учет совместных колебаний лопатки и диска турбины.

Связанность колебаний необходима при анализе многих систем, и ее учет характеризует усовершенствование расчетной схемы по сравнению со схемой, при которой колебания частей рассматриваются раздельно, независимо. Так, при исследовании паротурбоагрегата учитывают связанные колебания ротора паровой турбины (в мощных установках турбинных роторов бывает несколько) и ротора турбогенератора, связь с которым осуществляется с помощью упругих муфт. Фундамент под турбоагрегат выполняют в виде пространственной рамной конструкции, представляющей собой самостоятельную систему, но она входит в общую колебательную систему вместе с роторами паровой турбины и турбогенератора, и колебания всей этой системы рассматриваются как связанные. В современных установках учитывают связанные колебания роторов, фундамента и статора,

В двигателях внутреннего сгорания существенными являются крутильные колебания коленчатого вала, связанного с поршневой группой. Расчетная схема такого вала представляет собой крутильную систему из дискретно расположенных массивных элементов и упругих элементов между ними. В зависимости от конструкции эта система может быть простой, открытой или разветвленной, а также замкнутой, кольцевой. Система обладает многими собственными частотами, поэтому для опре деления амплитуд крутильных колебаний необходимо знать амплитуды силовых воздействий, состоящих из многих гармоник. При наличии в системе вала специальных муфт проявляются нелинейные свойства, которые должны быть отражены в расчетной схеме. Демпфирование существенно снижает амплитуды в резонансных и околорезонансных областях частот возбуждения. Демпфирование не поддается предварительному расчету на основании чертежа проектируемого объекта, однако данные о нем получаются в результате обработки многократных колебаний (торсиографи-рования), проводимых на двигателях различных типов, и эти данные используют при расчетах.

При рассмотрении машин, рабочий орган которых в процессе работы преодолевает значительные силы сопротивления, обычно в расчетной схеме ранее предполагалось, что двигатель имел неограниченную мощность и обеспечивал устойчивую частоту вращения. Анализ развивающихся амплитуд колебаний (и соответственно напряжений в элементах) показал, что при расчете нестационарного процесса эта модель приводит к неточным результатам. В более сложной расчетной схеме предусматривается двигатель, имеющий ограниченную мощность; при таком предположении

пасчет амплитуд колебаний в процессе установления стационарного режима дает результаты, более соответствующие действительности.

Такую машину, как автомобиль, можно представить как систему упруго связанных твердых тел. Для определения колебаний кузова автомобиля при движении по прямой дороге с неровным покрытием кузов как твердое тело можно считать подвешенным на упругих элементах, параллельно которым действуют гасители колебаний — демпферы. Упругими элементами являются рессоры и шины. При грубом приближении можно ограничиться тремя степенями свободы: вертикальным перемещением центра масс кузова и поворотами кузова вокруг продольной и поперечной осей, проходящих через центр масс. Более точные результаты будут достигнуты, если в расчетную схему между упругими элементами рессор и шин включить колеса автомобиля и в соответствии с этим добавить число степеней свободы, равное числу колес.

Важной является схематизация упругих свойств рессор и шин, демпфирующих сил, характеристики которых, как правило, нелинейны. Не менее важной является задача схематизации неровностей дорожного покрытия.

При исследовании крутильных колебаний трансмиссии автомобиля в расчетную схему включается коленчатый вал (упругий или жесткий в зависимости от диапазона рассматриваемых частот) с действующими на него силами, упругая муфта сцепления, упругие валы коробки передач, упругий карданный вал, упругие полуоси, колеса и кузов автомобиля. В зависимости от точности расчета и исследуемых частот колебаний возможна различная детализация учета приведенных моментов инерции вращающихся масс (выбор числа степеней свободы, упругих свойств зубьев шестерен, зазоров в их зацеплениях и сил трения; распределения крутящего момента по длине коленчатого вала). Вследствие того, что при вертикальных колебаниях кузова изменяются радиусы ведущих колес, крутильные и вертикальные колебания оказываются взаимосвязанными.

В автомобиле могут возникать автоколебания управляемых колес — явление «шимми». Для анализа «шимми» обычно достаточно рассмотреть колебания управляемых колес относительно кузова автомобиля, движение которого в первом приближении можно принять прямолинейным без колебаний. Кроме упругости рессор и шин здесь в схему включается упругость рулевого управления. При исследовании «шимми» важными являются схематизации сил взаимодействия шины с дорогой и свойств сервоусилителей рулевого управления.

При определении частот и форм низших тонов свободных колебаний больших ракет-носителей применяют «балочную» схематизацию. Корпус представляется в виде прямой неоднородной балки (стержня) с упругоподвешенными грузами, колебания которых имитируют колебания жидкости в баках. Для расчета частот свободных колебаний жидкости в баках ракеты при поперечных движениях стенки бака обычно принимают жесткими, а при продольных движениях — упругими, поскольку в этом случае деформации стенок бака оказываются существенными.

Форма и частоты свободных колебаний низших тонов корпуса корабля или самолета определяют также по «балочной» схеме. При расчете корабля к массе балки добавляют присоединенную массу жидкости.

Для свободных колебаний высоких тонов балочная схематизация корпусов ракеты, корабля, самолета уже не может дать удовлетворительных результатов. Нужна более сложная схема оболочки (подкрепленной), к которой подвешены различные грузы.

Перечисленными примерами не исчерпываются возможные приемы выбора расчетной схемы для исследования колебаний системы. Важно иметь в виду, что исследование колебаний конкретной системы заключается не только в составлении дифференциальных уравнений и получении их решения.

Сложность изучаемой системы, в частности, при исследовании машинных конструкций, обусловливается очень часто не столько числом степеней свободы, сколько тем, в какой мере отдельные элементы могут интерпретироваться как стержни, балки, пластины и т. п. стандартные элементы. Весьма часто приписывание свойств таких идеализированных объектов фактически имеющимся деталям машин делается с некоторой натяжкой — эти детали обладают «телесностью», т. е. большой толщиной, соизмеримой с межопорными расстояниями, и нередко представляют собой оболочки

со сложным контуром и с отверстиями; они не всегда хорошо укладываются в классические схемы, описываемые в механике. Поэтому умение правильно составить расчетную схему (модель) объекта в некоторой мере представляет собой искусство, основанное как на большом опыте, так и не некоторой интуиции. В некоторых случаях бывает полезпо предварительно изготовить «картонную» модель сложного объекта и, пытаясь ее деформировать в разных направлениях, обнаружить тенденцию к тем или иным возможным перемещениям ее отдельных частей, что облегчит задачу определения расчетного числа степеней свободы. Таким образом, прежде чем составлять дифференциальные уравнения, приходится много и серьезно подумать над тем, какими элементами заменить реальный объект и как отделить существенное от несущественного.

Но всегда возникают вопросы — насколько правильно выбрала расчетная схема. Только опыт, сравнение результатов математического анализа данной схемы с результатами опыта, а также наблюдение могут нас убедить в правильности выбранных координат и всей расчетной схемы. Подобный физический анализ и критическое отношение к схемам, глубокое исследование процессов, происходящих в системе, необходимы при выборе расчетной схемы.