4. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Движение в одной из плоскостей симметрии описывается следующей системой уравнений (в которой введены очевидные упрощенные обозначения и опущены дополнительные индексы):

где координата метацентра системы тело — жидкость в плоскости координата центра масс системы тело — жидкость, затвердевшая в невозмущенном состоянии,

Случай квазигармонических колебаний. Для приложений имеет основное значение вариант уравнений (32), соответствующий предположению, что возмущенное движение носит характер квазигармонических колебаний с медленно меняющейся частотой амплитудой и фазой, при котором можно пренебречь второстепенными диссипативными членами, положив при при малыми добавочными инерционными членами, появляющимися при результате уравнения (32) после гармонической линеаризации и переноса начала координат в метацентр приобретут следующую форму:

Диссипативные коэффициенты входящие в уравнения (34), связаны с коэффициентами уравнений (32) соотношениями

т. е. являются функциями частоты гармонических колебаний При использовании уравнений (34) для решения прямых задач динамики необходимо приписать некоторые подходящие значения параметру со и соответствующему числу Рейнольдса характерный размер). Целесообразно в каждом из коэффициентов с индексом положить а при вычислении коэффициента принять где некоторая характерная частота колебаний твердого тела. Соответственно

При этом наиболее точно описывается процесс диссипации энергии при колебаниях на частотах, близких к резонансным, для каждой из гармоник, а ошибки возникают в той нерезонансной области частот, где само влияние диссипативных членов пренебрежимо мало.

Некоторые возможные варианты выбора обобщенных координат, характеризующих волновые движения жидкости. В ряде работ (см. [23, 26, 28]) используютсч обобщенные координаты соответствующие отсчету аппликат свободной поверхности не от плоскости, перпендикулярной вектору как а от фиктивной «жесткой крышки», ориентированной перпендикулярно продольной оси полости. Система уравнений возмущенного движения, аналогичная (34), приведенная к центру масс системы имеет в этих координатах вид

Связь ее коэффициентов со знаком с соответствующими коэффициентами системы уравнений (34) может быть установлена на основе соотношений

и имеет вид (при приведении той и другой системы к одной и той же точке)

Существует возможность ввести также обобщенные координаты пропорциональные после чего присоединенные массы и коэффициент становятся инвариантными относительно нормировки функции

Координата представляет собой угловое отклонение плоскости, аппроксимирующей в смысле минимума среднего квадратичного отклонения возмущенную поверхность жидкости при форме ее колебаний. Уравнения возмущенного движения (34) имеют в этом случае следующий вид:

где

Коэффициенты уравнений (40) выражены теперь через параметры, инвариантные относительно нормировки функций

Аналогичным образом преобразуются уравнения движения во второй из плоскотеи симметрии и уравнения вращения вокруг продольной оси В последнем случае роль параметров (42) играют аналогичные им параметры

но Равнения (40) описывают плоское возмущенное движение в плоскопараллельном поле массовых сил с градиентом твердого тела с подвешенными к нему матемаческими маятниками, число которых стремится к бесконечности, а суммарная масса

к константе. Масса этого тела момент инерции координаты центра масс относительно полюса О, масса маятника его расстояние от точки О до оси подвеса и длина определяются формулами [20]

Можно указать и систему демпферов, воспроизводящих диссипативные силы, входящие в уравнения (40) [21]. Координата имеет смысл отклонения маятника относительно оси а координата аналогичная отклонение маятника относительно оси Параметры (42), (43) целесообразно привести к безразмерной форме, что делается ниже.

Общий алгоритм определения инвариантных коэффициентов уравнений возмущенного движения (42), (43).

1. Решение одйородной краевой задачи

2. Решение неоднородных краевых задач

3. Расчет основных безразмерных коэффициентов при и переход к коэффициентам для реальных значений по формулам

4. Расчет дополнительных безразмерных днссипативных коэффициентов при и переход к коэффициентам для реальных значений

где коэффициент при в уравнении вращения вокруг продольной оси, аналогичный а соответствующая характерная частота. Составляющие

коэффициентов (49) зависящая от числа Рейнольдса (отсек с гладкими стенками), удобно представить в форме

Составляющие, зависящие от числа Струхаля, учитывающие эффект ребер, выделив главную часть амплитуды колебаний жидкости на каждой из частот, можно представить в форме

Некоторые численные результаты. На рис. 7, а представлены теоретические и экспериментальные зависимости основных коэффициентов для первых двух тонов от безразмерной глубины для отсека в форме прямого кругового цилиндра с плоским днищем радиус цилиндра), а на рис. 7,б — зависимость теоретических значений диссипативных коэффициентов от того же параметра [19, 21].

Рис. 7 (см. скан)

Как видно, имеет место практически полное совпадение теоретических и слериментальных значений основных коэффициентов. Аналогичные результаты получаются и для отсеков более сложной конфигурации [17, 19, 20]. Значения коэффициентов специально исследовавшиеся экспериментально, полностью согласуется с теоретическими для отсеков самой различной конфигурации при введения теоретические формулы эмпирического поправочного множителя 1,4. Остальные

(кликните для просмотра скана)

иссйпативные коэффициенты, представленные на рис. 7, б, практически совпадают с полученными экспериментально.

Значения (рис. 8, а) (рис. 8, б) рассчитаны методом возмущений [39] для кругового цилиндра с радиальными ребрами. Эти значения также удовлетворительно согласуются с экспериментальными.

На рис. 9 представлены те же коэффициенты, что и на рис. 8, а для цилиндрических отсеков с плоским (рис. 9, а) и коническим (рис. 9, б) днищами при наличии кольцевого ребра, рассчитанные тем же методом. Квадраты и треугольники соответствуют точному решению (в рамках теории безотрывного обтекания ребра) и решению, полученному методом Ритца — Трефтца [481. Как видно, метод возмущений достаточно эффективен даже при относительной ширине ребра

Важно отметить, что (см. рис. 7, а) масса эквивалентного маятника резко уменьшается при увеличении номера тона (примерно на два порядка при переходе от для кругового цилиндра. Это дает основание для редукции уравнений (40) и им аналогичных к системе уравнений конечного порядка:

где число учитываемых гармоник определяется конфигурацией отсека. Например, для односвязных полостей вращения в большинстве практических задач можно принять