3. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Цель расчета. Расчет свободных колебаний — первый этап вибрационного исследования каждой установки Целью его являются

1) оценка вошожных резонансов в рабочем диапазоне Если двигатеть устойчиво работает на оборотах, соответствующих угловым скоростям от до то с и собственной частотой системы резонируют гармоники внешнего момента от В нелинейной системе вместо должны быть по ставлены граничные значения частот, соответствующие по рабочему участку скелетной кривой предполагаемым уровням колебаний нелинейных цементов В системах с относительно податливыми связями двигателя и стартера определяются резонирующие гармоники и в диапазоне оборотов при запуске,

2) определение степени опасности возможных резонансных режимов Опыт четоз аналогичных установок позволяет установить опасные гармоники возмущающих моментов Ести они не попадают в рабочим диапазон, установка обычно тается удовлетворительном с точки зрения прочности при ьнбрациях В противном случае предпринимаются попытки отстройки и (или) производится оценка опасности резонансных колебаний по величине работы возмущающих моментов (см ниже),

3) построение алгоритмов вибрационного синтеза (отстройки от резонансных режимов);

4) получение условий возникновения субгармонических колебаний;

5) выделение парциальных колебательных систем.

По первым четырем пунктам возникает необходимость решения частичной проблемы собственных значений, т. е. определение лишь части спектра, обычно нескольких первых частот; по последнему пункту — полной проблемы собственных значений.

Методы расчета линейных систем. Для систем, имеющих число степеней свободы меньшее или равное трем, удобно применять конечные формулы [23].

В течение длительного времени разрабатывались различные варианты рекуррентных методов (метод Толле, метод Терских, метод динамических жесткостей), которые применяются и в настоящее время для не очень сложных систем. Расчеты крутильных колебаний систем, имеющих до 30—40 степеней свободы, осуществляются матричными методами с помощью современных ЭВМ с дополнительным блоком, автоматизирующим формирование матриц жесткости и инерции.

Для каждой массы системы дифференциальные уравнения движения имеют вид

где мгновенные значения углов поворота масс, относительно некоторого начального положения; моменты сил упругости.

Общее решение системы (5)

где амплитуда колебаний массы; фазовый угол; частота собственных колебаний системы.

Сокращение каждого уравнения системы (5) на общий множитель приводит к амплитудным уравнениям

Принимая определяют относительные амплитуды колебаний

Для данной частоты собственных колебаний системы значения относительных амплитуд колебаний а можно графически изобразить по длине эквивалентной системы в виде ординат. В результате соединения концов ординат прямыми получаем форму колебаний, которая показывает относительные амплитуды собственных колебаний каждой массы системы, а также число и расположение узловых точек (пересечение формы колебаний с осью эквивалентного вала). Тангенсы углов наклона отдельных участков формы колебаний пропорциональны упругим крутящим моментам на участках вала. Изображенная в масштабе форма колебаний отражает сравнительную напряженность участков вала.

Формы колебаний отличаются числом узлов. Каждой форме соответствует своя частота собственных колебании. С увеличением частоты число узлов возрастает.

Если обозначить моменты сил упругости участков вала через а относительные амплитуды угловых колебаний — через то из системы уравнений (5) следует система алгебраических уравнений

Метод цепных дробей (метод В. П. Терских) [23] состоит в решении уравнений (8) в виде цепной дроби с помощью пробных подстановок. Сущность этого метода заключается в определении величины эквивалентной динамической жесткости с помощью цепной дроби.

С помощью метода подстановок в уравнение (91 пробных значений со определяют собственные частоты многомассовой системы. На рис. 7 приведен график функции Точки пересечения кривой с осью абсцисс определяют соответствующие частоты 1-й, степени

Метод динамической жесткости [9, 10]. Различают основную или главную и смешанную динамические жесткости.

Коэффициент главной динамической жесткости

коэффициент смешанной динамической жесткости

где амплитуда гармонического момента в точке; амплитуда гармонического момента в точке; угловая амплитуда колебании в точке.

Коэффициент смешанной динамической жесткости обладает свойством симметрии, т. е.

В табл. 3 приведены формулы для определения динамической жесткости простейших систем.

Рис. 7

Общее выражение для коэффициента динамической жесткости в случае крутильных колебаний имеет вид:

а) для свободной системы

б) для закрепленной системы

где число участков свободной системы; число участков закрепленной системы; число масс закрепленной системы; число масс свободной системы; частоты собственных колебаний заданной системы (резонансные частоты); частоты собственных колебаний системы, закрепленной в той точке, для которой подсчитывается динамическая жесткость (антирезонансные частоты); частота действия внешней силы.

(см. скан)

Продолжение табл. 3. (см. скан)

Приравнивая выражения (см. табл. 3) нулю, можно попучить значения собственных частот системы.

Для разветвленной системы (рис. 8) в точке А уравнение для определения собственных частот имеет вид

Для совместности колебаний частей сложной системы должны выполняться условия динамического равновесия систем и равенства амплитуд перемещений элементарных систем в местах сочленения. Из этих условий вытекает частотное уравнение для сложной системы.

Рис. 8

Свойства свободных колебаний. Согласно теоремам линейной алгебры свободные колебания характеризуются рядом важных общих свойств [4]. В инженерной практике расчета крутильных колебаний полезно использовать и другие особенности [10, 23]:

1) все собственные частоты простой цепной системы (см. рис 1, а) различны;

2) если система допускает свободное вращение, то первая частота равна нулю;

3) форма свободных колебаний простой цепной системы, соответствующая собственной частоте, имеет узел,

4) разветвленная система (см рис. 1, б) с симметричными ответвлениями имеет кратных частот, они могут быть и в системе с двумя ответвлениями при определенном сочетании парауетов,

5) для системы с двумя симметричными ответвлениями различаются специфические формы колебаний с совпадающим и встречным движениями одноименных масс,

6) в пределах кольцевой части системы (см. рис. 1, в) может быть только четное число узлов собственных форм колебаний,

7) не существует строгой связи между числом узлов собственной формы и номером частоты кольцевой системы.

Приближенные методы расчета свободных нелинейных колебаний. В силовых передачах с ДВС типичны нелинейные упругие характеристики, изображенные на рис. 9, а-г. Кусочно-линейная аппроксимация реальных однозначных характеристик является достаточно точной для инженерных расчетов.

Рис. 9

Основное допущение, принимаемое при расчетах существенно нелинейных силовых передач законы установившихся свободных колебаний масс близки к гармоническим (упругие моменты на нелинейных участках при этом от гармонических всегда отличаются существенно). Это допущение позволяет применить известные способы линеаризации и перейти к эквивалентной линейной системе, в которой жесткость является функцией амплитуды а угла закручивания нелинейного участка. Все многочисленные известные формулы линеаризации при соответствующем подборе могут быть получены из едиього выражения [12]

где нелинейная упругая характеристика; середина размаха колебаний, определяемая по одному из следующих соотношений:

Уравнения весовых функций в зависимости от параметра для методов гармонической линеаризации и энергетического имеют вид

Вид весовых функций, содержащих обобщенную симметричную весовую функцию Дирака требует использования в соотношениях (13) и (14) интеграла Стильтьеса Последние четыре функции (15) обобщают предложенные ранее только Для симметричных характеристик формулы линеаризации

Решение линеаризованной системы уравнений приводит к одному (в случае одного нелинейного соединения) или к системе трансцендентных уравнений относительно неизвестных амплитуд углов накручивания нелинейных участков.

Математические эксперименты, проведенные для одномассиой системы, в которой нелинейные свойства проявляются наиболее сильно по сравнению с многомассными, при разных нелинейных характеристиках позволяют утверждать, что указанные выше способы дают погрешность, не превышающую 6%. Обнаружена следующая закономерность: точное значение частоты свободных колебаний, как правило, находится между значениями, полученными с использованием непрерывных и разрывных функций Это позволяет испочьзовать грубые, но простые формулы линеаризации для получения удовлетворительных результатов. Например, осреднение коэффициентов полученных по формулам энергетического метода (каждый из них может дать погрешность до приводит в экспериментах к частотам, отличающимся от точных не более чем на 5%. В типичных моделях силовых передач обнаружено, что каждое нелинейное соединение существенно влияет на скелетные кривые, соответствующие лишь одной или двум собственным частотам системы.

Связанные линейные кочебания. Вследствие значительно большей размерности матриц коэффициентов по сравнению с размерностью матриц в случае крутильных колебаний и трудностей автоматизации задания структуры при связанных колебаниях последние рассчитываются рекуррентными способами. Известны алгоритмы расчета коленчатых валов методами динамических жесткостей и податливостеи, начальных параметров [2, 9, 10, 13, 14]; возможно применение методов конечных элементов. Выбор способа расчета может быть осуществлен на основании самых общих рекомендаций, так как даже для модели коленчатого вала максимальной сложности вычислительные погрешности современных ЦВМ еще не сказываются [2].

Признаком сильной связанности парциальных кочебаний является близость парциальных частот, полученных для систем с искусственным выделением лишь одного вида деформаций. Расчеты свободных связанных крутильно-изгибно-продольных колебаний используют: а) для оценки необходимости учета связанности определенных видов колебаний; б) при исследовании влияния на степень связанности тех параметров системы, определение которых производится с большой погрешностью (жесткости щек в разных направлениях, жесткости опор коленчатого вала).