4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Вынужденные колебания возбуждаются внешними периодически изменяющимися силами. Особенно опасными являются резонансные колебания, возникающие при совпадении собственной частоты и частоты внешних сил.

В расчетах силовых установок с поршневыми двигателями учитывают нижеследующие внешние возбудители [11, 16, 23].

Моменты от сил давления газов в цилиндрах двигателя или компрессора (главные возбудители крутильных колебаний)

где радиус кривошипа; тангенциальная сила, направленная перпендикулярно кривошипу, для одного цилиндра, отнесенного к единице площади поршня; площадь поршня.

Гармонические составляющие силы могут быть определены по справочные данным, приведенным на рис. 10 и 11 (при можно экстраполировать данные, продолжив кривые прямыми).

Гармоники тангенциальных сил 3-го порядка и выше для четырехтактного бензинового двигателя могут быть определены по формуле

где среднее индикаторное значение давления, степень сжатия двигателя; порядок гармоники (начиная с 3-й и выше).

Для гармоник порядков можно пользоваться следующими данными:

Здесь и в формуле (17) значения представляют собой гармоники тангенциальных газовых сил на единицу площади поршия одного цилиндра.

Для определения амплитудного значения гармонической силы, приложенной к колену вала, в случае действия на него многих цилиидров векторно складывают гармоники газовых сил всех цилиндров в предположении постоянства значений для всех цилиндров.

Рис. 10

Рис. 11

Если колено воспринимает силу от нескольких цилиндров, то при сложении моментов следует принять во внимание сдвиг по времени между кривыми тангенциальной силы от этих цилиндров, соответствующий интервалу между вспышками.

В табл. 4 приведены справочные данные для звездообразных двигателей с разным числом цилиндров.

Моменты от сил инерции движущихся масс кривошипно-шатунного механизма (следует учитывать только при определении гармоник низших порядков — от 1-й

где масса поступательно движущихся частей кривошипно-шатунного механизма одною цилиндра; — угловая скорость вала; отношение радиуса кривошипа к длине шатуна.

4. Гармоники крутящего момента в от среднего крутящего момента однорядного звездообразного двигателя (с учетом сил инерции)

(см. скан)

Моменты от сил тяжести кривошипно-шатунного механизма имеют малую величину и учитываются только для тяжелых тихоходных двигателей. Эги моменты слагаются из крутящего момента, вызываемого силой тяжести поступательно движущейся части (поршневой комплект и часть шатуна)

и крутящего момента, вызываемого силами тяжести вращающейся части кривошипно-шатунного механизма (часть шатуна, цапфа и щеки колена),

Суммарный возбуждающий крутящий момент любого порядка, определяется векторным сложением с учетом фаз гармонических моментов от газовых и инерционных сил данного порядка, действующих на кривошип цилиндра двигателя. Моментами от сил тяжести пренебрегают из-за их малости.

В табл. 5 приведены величины фазовых углов, необходимых для сложения гармоник газовых и инерционных моментов.

5. Величины фазовых углов сил и

(см. скан)

Если возмущающий крутящий момент порядка, приложенный к первому кривошипу, а угол между первым и кривошипом то гармонический момент, приложенный к кривошипу, Величина векторной суммы амплитуд крутящих момешов определяет развитие колебаний вала.

Зубчатые колеса редукторов могут быть возбудителями крутильных колебаний из-за погрешностей при их изготовлении. Частота крутильных возмущений зависит от числа зубьев делительного колеса станка, на котором обрабатывается колесо. Число зубьев соответствует числу волн ошибки на колесе. Следовательно, частота возмущения

число оборотов зубчатого колеса.

Максимальная частота крутильных колебаний

где число зубьев зубчатого колеса.

Кроме того, могут иметь место низкочастотные составляющие спектра крутильных колебаний от накопленных погрешностей окружного шага. Частота этих колебаний где

Интенсивность крутильных колебаний зависит от точности изготовления колес и сборки редуктора.

Если динамический крутящий момент превысит средний, то будет двусторонний удар зубьев. Амплитуда таких колебаний не может быть определена расчетом. Схематизация зубчатых передач приведена в работе [3].

Вынужденные нерезонансные колебания возникают при условии Амплитуды их, как правило, малы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний для массы имеет вид

Решения линейных дифференциальных уравнений типа (20) общеизвестны [3, 23]. Для упрощения расчета разветвленную систему превращают в цепочную, используя метод приведения масс [16, 231.

При расчете вынужденных колебаний вдали от резонанса не учитывают силы трения. При этом возможна ошибка в амплитуде вынужденных колебаний до 10%, что вполне допустимо.

Силы сопротивления при крутильных колебаниях ограничивают развитие резонансных колебаний. Эти силы делятся на внешние и внутренние. К первым относятся силы трения колеблющейся системы о среду, в которой происходят колебания, ко вторым — силы внутреннего трения в материале, силы трения в сочленениях элементов системы, силы треиия в наборных пакетах пластин, полос, стержней.

Коэффициент демпфирования определяют по эмпирическим формулам, в большинстве случаев полученным из экспериментальных работ.

Для кривошипно-шатунных механизмов поршневых двигателей

где площадь поршня, радиус кривошипа, см; число цилиндров, приходящихся на одно колено; - удельный коэффициент демпфирования, . Значения коэффициента для разных двигателей следующие.

В общем виде

где полная сила демпфирования, площадь поршня, линейная скорость шатунной шейки вала, см/с.

При крутильных колебаниях в материале участков вала между массами возникает трение (гистерезисные потери). Это трение называется внутренним. Энергия трения превращается в теплоту и рассеивается затем в окружающую среду.

Общая формула, определяющая величину гистерезисных потерь, имеет вид

где работа сил трения в материале вала на участке между смежными массами; постоянная, зависящая от материала вала; амплитуда касательных напряжений; показатель степени.

При резонансных колебаниях инерционные и упругие моменты системы с большом точностью взаимно уравновешиваются, и вся работа возмущающихся сил идет на преодоление сил сопротивления.

Резонансное, или критическое, число оборотов системы

где число собственных колебаний одной из форм системы; порядок гармоническою возбуждающегося момента.

В области используемых чисел оборотов поршневых двигателей могут возбуждаться только первые три формы колебаний.

Рис. 12

Так как число существенных возбуждающих гармоник колеблется от 9 до 12, то число резонансов велико. Однако только немногие из резонансов (в основном резонансы главных порядков) сопровождаются значительными колебаниями, т. е. создают опасные критические обороты.

Амплитуды резонансных колебаний системы определяются из равенства работ возмущающих сил и сил сопротивлений за каждый цикл колебания.

Гармонические моменты, совпадающие по фазе во всех цилиндрах, называют главными. Порядок их кратен числу вспышек за один оборот коленчатою вала. В этом случае геометрическая сумма а превращается в алгебраическую.

Наибольшие напряжения в эквивалентном валу возникают на тех участках, где формы колебаний наиболее крутые. Однако в действительном валу напряжение отличается от напряжения в эквивалентном в раз. Поэтому наиболее напряженным может оказаться участок с менее крутой формой колебаний.

Надежность результатов расчета резонансных колебаний зависит от правильности определения моментов возбуждающих сил и моментов сил трения. Если первые определяются с погрешностью 20—30%, то вторые могут расходиться на 50—100% от вероятного значения определяемых ими величин. Поэтому к результатам расчета резонансных колебаний следует относиться с большой осторожностью.

Импульсно-частотные характеристики целесообразно использовать при расчетах вибрационной диагностики, определении установившихся колебаний нелинейных систем, идентификации внешних периодических воздействий, в методах динамического синтеза. Эти характеристики представляют собой закон установившихся вынужденных колебаний, возбуждаемых периодически повторяющимися импульсами с периодом На рис. 12 показана многомассная кружильная система на массу которой действует периодическая последовательность мгновенных импульсов

Все виды расчетов могут быть осуществлены введением двух типов характеристик: «от массы к массе» и «от массы к участку». Рассмотрим наиболее простой случай получения первого типа характеристик закона периодического движения массы под действием единичных импульсивных моментов периода приложенных к массе — для системы, имеющей одну неподвижную массу (защемление).

Пусть в момент после воздействия очередного импульса углы поворота всех масс и скорости равны На интервале времени система совершает свободные колебания, описываемые уравнением (5). В момент перед приложением к системе очередного импульса фазовые переменные равны За бесконечно малое время действия импульса угловая скорость только массы изменится на величину Тогда условия периодичности принимают вид

Решение полученной системы линейных алгебраических уравнений относительно постоянных и в уравнении движения полностью определяет импульсно-частотные характеристики первого типа.

Угол поворота массы от произвольного момента действующего на массу,

Рис. 13

Если на систему действует несколько моментов, то производится суммирование на основании принципа суперпозиции. Можно доказать, что имеют место соотношения

где номера соседних масс; — импульсно-частотная характеристика от массы к участку.

Свойства линейных вынужденных колебаний. При анализе и синтезе силовых передач следует иметь в виду ряд основных свойств кривой вынужденных колебаний.

1. Обычно встречающееся в силовых передачах без специальных демпферов малое трение на массах и в соединениях существенно влияет на амплитуды вынужденных колебаний лишь в небольшом диапазоне частот возмущающей силы. В работе 123] приведены данные для двухмассной системы - пренебрежение трением вне интервала частот ±10% резонансной частоты при логарифмическом декременте колебании и вне интервала ±20% при приводит к ошибкам в вычислении упругого момента на 10%.

2. При малом трении в системе форма резонансных колебаний близка к форме свободных колебаний на резонирующей собственной частоте. Если трение велико, отличие может быть существенным (см. пространстренное изображение формы колебаний на рис. 13), особенно в случаях, когда демпфирующие элементы расположены на массах с большими относительными амплитудами. В этом случае максимумы амплитуд колебаний разных масс достигаются на различных частотах внешних сил и на частотах, меньших собственных частот системы.

3. При изменении трения в каком-либо месте системы в широких пределах все резонансные кривые проходят через узкие области изменения частот и амплитуд.

4. Если к некоторой массе системы присоединен контур, на который не действуют внешние моменты (инертная часть системы), то амплитуда ее колебаний имеет

минимумы на частотах, равных собственным частотам этого контура при условии заделки указанной массы. Такое явление называется эффектом линейного антивибратора.

Приближенный расчет нелинейных вынужденных колебаний. В настоящее время имеются алгоритмы расчетов на ЭВМ, конкурирующие с расчетами на АВМ. Если заранее известно, что в искомом решении основную роль играют одна или две гармоники, то приближенное решение может быть получено методом Галеркинэ. Результаты при гармоническом приближении полностью совпадают с результатами, полученными методом гармонической линеаризации. Последовательность расчета соответствует приведенной ниже схеме:

1) задают вид искомого решения на нелинейном участке

где частота колебаний более высокой гармоники; целое число;

2) раскладывают упругий момент после подстановки (24) в ряд Фурье на периоде и удерживают только первую и гармоники:

где функции коэффициентов

3) подставляют (24) и (25) в дифференциальные уравнения движения и затем решают систему трансцендентных уравнений относительно неизвестных Параметр обычно определяется из уравнения для средних моментов в функции от остальных неизвестных.

Решение системы трансцендентных уравнений эквивалентно поиску нулевых минимумов функционала

где произвольный положительный параметр; операторы, которые по значениям осуществляют вычисление новых значений в такой последовательности: определение по формулам коэффициентов для ряда Фурье (25), решение линейной системы уравнений, нахождение амплитуд углов закручивания

Графический способ решения этой задачи описан в работе [231.

Итерационный метод уточнения решения уравнений нелинейных колебаний. Для уточнения расчета резонансных режимов, а также нерезонансных режимов от нескольких гармоник момента двигателя может быть применен метод последовательных приближений Ньютона-Канторовича [15]. Для расчетов силовых передач использование этого метода первого порядка наряду с записью уравнений движения в интегральной форме можно признать оптимальным по следующим причинам: достигается максимально компактная запись нелинейных уравнений, число которых равно числу нелинейных соединений; сходимость метода может быть достигнута при любых параметрах системы за счет выбора начального приближения. Метод Ньютоне—Канторовича обладает максимальной скоростью сходимости для кусочно-линейных функций, какими и являются типичные упругие характеристики силовых передач.

Приведем основные формулы этого метода для произвольной системы с нелинейными упругими характеристиками закручивания участка;

Система уравнений относительно при движении с периодом в матричной форме записывается так:

где

здесь импульсно-частотная характеристика; некоторый параметр);

внешний момент, действующий на массу.

Рекуррентные соотношения для определения последующего приближения по предыдущему имеют вид

где определяется решением системы линейных интегральных уравнений

в которых

Для одной нелинейности выражение (29) представляет собой нелинейное интегральное уравнение типа Гаммерштейна. Решение системы (30) осуществляется переходом к системе линейных алгебраических уравнений относительно ординат процессов на основе замены интегралов конечными суммами. Степенью обусловленности этой системы, а также наличием решения системы уравнений высокого порядка (необходимо 30—40 точек на каждую нелинейность) и определяются в основном возможности метода. Если то приведенные формулы позволяют производить уточнение решений свободных колебаний.

Чтобы получить точность 0,1% и выше, необходимо несколько итераций при удачном выборе начального приближения. Простые эксперименты позволяют установить для определенных классов нелинейных систем качественное и количественное влияние всех параметров итерационного процесса: числа точек дискретизации, начального приближения, эквивалентной жесткости, числа итераций.

Особенности вынужденных нелинейных колебаний. В силовых передачах проявляются все особенности нелинейных механических колебаний, изложенные в Следует отметить повышение вероятности возникновения опасных нелинейных колебаний, в том числе субгармонических, в современных компактных дизельных установках, так как кроме конструктивных зазоров в них все чаще встраиваются нелинейные корректирующие динамические контуры (муфты, антивибраторы, демпферы колебаний и др.). В полной мере нелинейные колебания проявляются в транспортных гусеничных машинах ввиду многообразия режимов работы ДВС.