2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ВЕРТИКАЛЬНЫХ УПРУГИХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ РОТОРНЫХ СИСТЕМ

Общий случай движения системы. Динамическая модель одномассового ротора в поле сил тяжести представляет собой гироскоп с гибким валом и присоединенным к валу упругим элементом, причем центр масс гироскопа может лежать ниже (рис. 1) или выше (рис. 2) точки опоры [15]. Гироскоп рассматривается как тяжелое, симметричное, абсолютно твердое тело, протяженное вдоль оси и закрепленное на невесомом гибком валу. Точка опоры (подвеса) гироскопа О неподвижна, масса тела его полярный и центральные экваториальные моменты инерции соответственно и расстояние от точки опоры до центра инерции твердого тела длина гибкого вала Жесткость упругого элемента, действующего на вал в точке подвеса, [кгс-см/рад], а его восстанавливающий момент пропорционален углу между вертикалью и касательной к упругой линии вала в указанной точке Вектор момента направлен перпендикулярно к плоскости, образованной этими прямыми

Принятые системы координат изображенц на рис. 1 и 2. Положение центра инерции относительно неподвижных осей задается сферическими координатами у и 0.

Проекции поперечных прогибов гибкого вала и на плоскости сферической системы координат отсчитываются от прямой и считаются положительными, если их направления совпадают с положительными направлениями соответствующих сферических осей, здесь абсцисса, отсчитываемая вдоль оси в положительном ее направлении. Ось симметрии гироскопа имеет направление касательной к упругой линии ротора в точке и ее положение в пространстве определяется углами Резаля положение системы координат жестко связанной с гироскопом, относительно осей Резаля углом собственного вращения

Допускается неуравновешенность гироскопа в виде эксцентрично расположенных точечных масс. Влияние этих факторов на динамику упругой гироскопической системы учитывается добавлением к силовым факторам, действующим на симметричный гироскоп, сил тяжести и инерции точечных масс в их абсолютном движении относительно неподвижной системы координат. В дальнейшем учитывается только одна смещенная точечная масса расположенная в одной плоскости с центром инерции на расстоянии от него.

Движение системы рассматривается при малых углах нутации, поэтому везде в нелинейных функциях удерживаются члены до третьего порядка малости относительно координат и их производных, а также первого порядка относительно характеризующих деформации упругой оси гироскопа.

(кликните для просмотра скана)

Проекции прогибов оси ротора на координатные плоскости и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

соотношениям

и граничным условиям

где штрихами обозначены частные производные по постоянная жесткость вала на изгиб; проекции на сферические оси силы действующей на гибкий вал в точке со стороны твердого тела; моменты, приложенные в точке к гибкому валу в плоскостях сферической системы координат и

(см. скан)

верхние знаки в (1) и (3) относятся к подвесному ротору, а нижние — к зонтичному. Дифференциальные уравнения движения упругой гиросистемы будут

здесь берутся из (3) и (4); нелинейные функции имеют вид

а безразмерные коэффициенты полученные интегрированием (1) с краевыми условиями (2), равны при верхних знаках в (1) для подвесного ротора

и нижних знаках для зонтичного ротора

причем выражение для то же, что и в (6).

Дифференциальные уравнения (5), описывающие самый общий случай движения шроскопа с упругой осью при малых углах нутации, представляют собой сложную квазилинейную систему.

Для многих практических приложений целесообразно ограничиться линеаризованной системой в условиях стационарного вращения которая с введением комплексных функций и безразмерных параметров получит вид

определяются из (6) в сочетании с верхними знаками в (8) — для подвесною ротора или из (7), но с нижними знаками, что справедливо для зонтичного Ротора.

Свободные колебания. Для системы (8) без правой части с верхними знаками Подстановка

Дает уравнение частот для подвесного ротора

где

и та же подстановка (91, но с нижними знаками в (8) приводит к уравнению вида (10) для зонтичного ротора, в котором

Если формулы и (12) упрощаются, причем в случае (11)

а для

Общее решение соответствующей (8) однородной системы будет

здесь угловые скорости прецессии ротора; корни уравнения частот (10) с коэффициентами из (11) или (12); а коэффициенты форм колебаний имеют вид

причем верхний знак справедлив для подвесного, а нижний — для зонтичного роторов, вещественные произвольные постоянные, выражающиеся через начальные значения углов и скоростей

где

кроме того,

миноры элементов определителя А, стоящих на пересечении строки и столбца.

Формулы (14) позволяют находить траектории движения отдельных точек рассматриваемой системы при различных начальных условиях.

Рис. 3

В частности, проекция траектории центра инерции симметричного гироскопа с гибкой осью на горизонтальную плоскость при малых углах нутации есть геометрическое место концов вектора, равного сумме четырех векторов, каждый из которых вращается с угловой скоростью и описывает окружность радиуса

Влияние изгибной деформации оси ротора на форму траектории движения центра Инерции видно из конкретного примера. На рис. 3 построен участок траектории Центра инерции гиромаятника с гибким валом без упругого элемента при следующих значениях параметров системы и начальных данных:

Для этого случая безразмерные угловые скорости прецессии из (10) с учетом (13) равны При тех же начальных условиях на рис. 3 штриховой кривой изображен виток траектории того же гиромаятника с абсолютно жестким валом. Из сопоставления обеих кривых видно, что для данных значений параметров, деформация оси гиромаятника приводит к заметным качественным изменениям траектории движения его центра инерции.

Вынужденные колебания. Если в правых частях (8) пренебречь членами, содержащими в знаменателе, то амплитуды вынужденных колебаний гиросистемы от дисбаланса, обусловленного эксцентрично расположенной точечной массой будут

где, если берутся из (6) и из (11), то формула (15) справедлива для подвесного ротора или, если эти величины определяются соответственно из (7) и (12), то (15) используются для зонтичного ротора.

В первом случае

и с берется из (11), а во втором случае

и с дается в (12).

Так же как и в обычной схеме гибкого ротора, в упругих гиросистемах могут иметь место критические скорости, когда в и амплитуды вынужденных колебаний становятся весьма значительными.

В случае подвесного ротора, когда полином из (15)

Биквадратное уравнение не имеет вещественных корней, если одно» временно или дискриминант

Для гибкого вала и ни одно из этих условий не выполняется, т. е. гиромаятник с гибким валом имеет критические скорости при их будет две, а при одна.

Если ротор абсолютно жесткий, и критическая скорость определяется уравнением

из которого следует, что гиромаятник с жестким валом обладает необычным свойством — он не имеет критической скорости, если

При рассмотрении динамики упругой гиросистемы учитывалось влияние продольных сил на изгиб оси ее ротора. Если это влияние невелико, то в (1) следует положить

Величины в этом случае, например, для подвесного ротора будут

а коэффициенты в уравнении (10)

Выражения для определения траектории движения гиромаятника, его критических скоростей и амплитуд вынужденных колебаний остаются без изменения, если взять соответственно из (16) и (17).

Рис. 4

Рис. 5

Влияние упругости сил гиросистемы видно из сравнения угловых скоростей прецессии, вычисленных с учетом и без учета ее деформации. Если считать, что массивную часть ротора гиромаятника образует тонкий диск, у которого то согласно (10), (13) угловые скорости прецессии с учетом упругости оси определяются выражением

Для жесткого вала и значения удовлетворяют уравнению

Отношения скоростей прецессии зависят от параметров и безразмерной угловой скорости ротора

На рис. 4 изображена зависимость отношения низших угловых скоростей прямой прецессии для долях При заданных числовых значениях влияние податливости оси гироскопа особенно существенно в интервалах изменения параметров

Аналогичное сравнение угловых скоростей прецессии гиромаятника с собственными частотами изгибных колебаний близкого по схеме, горизонтального, невесомого, упругозаделанного ротора с диском на свободном конце представлено на рис. 5. С сохранением прежних обозначений, уравнение частот такого ротора при будет

На рис. 5 приведена зависимость отношения низшей скорости прямой прецессии гиромаятника и собственной частоты консольного ротора, вычисленных из (18) и (19), в функции При малых значениях это отношение немного падает, незначительно отличаясь от единицы, а затем быстро возрастает с увеличением Это происходит главным образом из-за растягивающего действия продольных сил, повышающих жесткость вала подвесного ротора на изгиб. Указанная особенность вертикальных роторов рассматриваемого типа используется в высокоскоростных ультрацентрифугах. Их валики обычно выбирают весьма гибкими и тонкими с массивным тяжелым ротором на нижнем свободном конце. В таких условиях параметр О принимает повышенные значения, и собственные частоты удается повысить настолько, что даже при широком диапазоне рабочих скоростей вращения они оказываются за его пределами.

Рис. 6

На рис. 6 представлено отношение критических скоростей прямой прецессии упругого гиромаятника и горизонтального ротора (при ), полученных из (18) и (19), в которых Здесь наблюдается примерно та же закономерность, что и на рис. 5. Однако отношение а/со нарастает более интенсивно.