2. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Четырехосные грузовые вагоны. Подавляющее большинство вагонов — грузовые четырехосные. Кузов такого вагона опирается через пятники на надрессорные балки двух двухосных тележек с центральным рессорным подвешиванием. Обрессоренпую часть вагона, т. е. кузов с надрессорными балками, принимают за твердое тело массы Если колесные пары не имеют поступательных перемещений

относительно боковых рам тележек, то каждую из тележек можно принять за тело массы Расчетной схемой вагона будет система трех твердых тел [20]. Линейные и угловые координаты тел обозначим через причем для обрессоренной части — без индексов, а для тележек — с индексами 1 и 2.

При отсутствии зазоров между направляющими колонками боковых рам и надрессорными балками в продольном направлении Эти связи вынуждают обрессоренную часть поворачиваться в продольной плоскости симметрии не вокруг центра масс, а вокруг точки О, называемой центром колебаний и лежащей в плоскости осей колесных пар. Перемещение центра масс кузова вдоль оси пути будет где расстояние между центром масс и центром колебаний.

При движении по прямому идеально гладкому пути На систему наложено восемь голономных связей. Так как свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, то рассматриваемая система будет иметь степеней свободы.

Положим, что при совпадении продольных плоскостей симметрии пути и вагона радиусы кругов катания всех колес равны. Тогда при перемещении вагона вдоль оси пути на величину х все колесные пары повернутся на угол За обобщенные координаты примем следующие величины:

Кинетическая энергия системы

где инерционные коэффициенты; моменты инерции обрессоренной части вагона относительно ее главных центральных осей; моменты инерции тележек относительно их вертикальных главных центральных осей; момент инерции колесной пары относительно ее оси вращения.

Потенциальная энергия равна сумме энергии накапливаемой в пружинах рессорного подвешивания при их сжатии и изгибе, и изменения энергии вследствие вертикального перемещения центра масс обрессоренной части, вызванного ее вращением относительно нецентральной оси. По теореме Клапейрона

где жесткости пружинных комплектов при сжатии и изгибе; осадка при сжатии; прогибы комплектов. Потенциальная энергия где вес обрессоренной части вагона.

После перехода к обобщенным координатам

где квазиупругие коэффициенты; расстояние между осями пружинных комплектов вдоль вагона; то же, поперек вагона.

Если параллельно пружинным комплектам установлены демпферы, создающие вязкое сопротивление при сжатии и изгибе, то функция рассеивания

Коэффициенты кроме получаются заменой в выражениях квазиупругих коэффициентов жесткости коэффициентами и вязкого сопротивления при сжатии и изгибе пружинных комплектов, коэффициент Справедливы следующие зависимости [20, 27]:

где и отношения энергии, необратимо поглощаемой за четверть периода (цикла), к потенциальной энергии при полном сжатии и при наибольшем прогибе пружинных комплектов.

Составляющие внешней силы, действующей на колесо с номером к, параллельную и перпендикулярную оси пути, определяют по теории псевдоскольжения [27]:

где коэффициент псевдоскольжения; сила давления колеса на рельс; радиус колеса; безразмерные характеристики проскальзываний вдоль и поперек пути; — половина расстояния между кругами катания колес; расстояние от оси колесной пары до центра масс тележки; конусность поверхностей катания колес; перемещения тележки.

Обобщенные силы

где составляющие сил, действующих на колеса первой и второй тележек; и — моменты сил относительно центров масс тележек.

Далее составляют уравнения Лагранжа. Десятое уравнение имеет вид из которого определяется затем исключают циклическую координату

Первые два дифференциальных уравнения отделяются. Если не принимать во внимание вязкое сопротивление, можно записать

кажущееся изменение массы вследствие исключения циклической координаты Поворот кузова относительно центра колебаний, а не центра масс вызывает изменения значений коэффициентов Причем изменяется примерно на 3%, а еще меньше. Поэтому в дальнейшем эти изменения можно не принимать во внимание, тогда вместо системы уравнений четырнадцатого

порядка получатся две подсистемы вида (1) восьмого и шестого порядков. Матрицы инерционных коэффициентов этих систем — диагональные, а матрицы в системе восьмого порядка

в системе шестого порядка

где величины, которые войдут в уравнения из выражений для обобщенных сил: причем Полученная система дифференциальных уравнений возмущенного движения является линейной. В нормальной форме Коши она имеет вид где А определяется по формуле (2).

Дальнейшие исследования следует выполнять численными методами. Радиус колеса Для груженого вагона поэтому Вес тары основных типов четырехосных вагонов, кроме изотермического, равен Вес тары изотермического вагона

1. Данные о кузовах четырехосных вагонов

(см. скан)

В табл. 1 приведены данные о кузозах четырехосных вагонов. Для полувагона в строке приведены данные, вычисленные в предположении, что вагон загружен до полной грузоподъемности, но груз занимает только половину объема кузова. В строке приведены данные при полной загрузке по рузоподъечности и объему кузова. Исходные данные для стандартной тележки приведены в табл.

При скоростях движения от и выше среди собственных чисел матриц А будут числа с положительной вещественной частью, следовательно, движение рассматриваемой системы неустойчиво. При одинаковых скоростях собственные числа с наибольшими вещественными частями для всех типов грузовых четырехосных вагонов, загруженных до полной грузоподъемности, близки. Так, при скорости при скорости

Системы, не имеющие областей устойчивости в пространстве параметров, называют структурно неустойчивыми. Рассмотренная расчетная схема является структурно неустойчивой.

Рис. 1

Построение структурно устойчивых систем. С помощью приема сдвига корней получим уравнения возмущенного движения в виде (4). Матрицы В диагональные, поэтому добавочные слагаемые будут иметь только диагональные элементы матриц Во всех дифференциальных уравнениях появятся члены, соответствующие силам, пропорциональным скоростям и восстанавливающим силам. В матрицах С вместо нулевых диагональных элементов появятся элементы агячя Если то невозмущенное движение новой системы будет устойчивым. Построить новую систему так, чтобы ее возмущенное движение в точности описывалось преобразованными уравнениями, не удается. Однако можно сделать такие изменения, при которых система окажется близкой к требуемой. Чтобы ввести дополнительные восстанавливающие силы, нужно изменить структуру системы. Можно считать каждую из тележек системой, состоящей из пяти твердых тел: надоессорпой балки, двух боковых рам и двух колесных пар. Колесные пары соединяются с боковыми рамами шарнирно, а надрессорная балка — упруго с жесткостью (рис. 1). На рис. 1 изображена схема тележки в плане, где цифрами 1 обозначены боковые рамы, 2 — колесные пары, 3 — надрессорная балка.

Расчетной схемой будет система, состоящая из 11 твердых тел (кузов и две тележки по пять твердых тел каждая). На систему наложены голономные связи так, что она имеет 12 степеней свободы [271.

Первые два дифференциальных уравнения возмущенного движения отделяются, а системы вида (1) будут иметь десятый и восьмой порядки.

Если не принимать во внимание вязкое сопротивление демпферов, то при значениях от 10 до , движение асимптотически устойчиво в некотором Диапазоне скоростей. Для груженого полувагона и номинальных значений жесткостей пружинных комплектов наибольшее значение критической скорости

2. Исходные данные для стандартной тележки

будет при Таким образом, новая система является структурно устойчивой.

Горизонтальные демпферы мало влияют на критическую скорость. Так, для полувагона, загруженного до полной грузоподъемности, если то при а при

Рис. 2

Рис. 3

При вертикальных демпферах значение критической скорости значительно возрастает. Для груженого полувагона, если значения жесткостей те же, но то при а для порожнего — На рис. 2 показаны области устойчивости для груженого (линия 1) и порожнего (линия 2) полувагонов.

На рис. 3 приведены графики зависимости от скорости V при различных значениях Линии 1, 2, 3 изображают эту зависимость при При критическая скорость равна (кривая 4) вместо при однако запас устойчивости не превосходит 0,1, а при он близок к нулю. Если увеличить до 0,05, то критическая скорость почти не увеличивается, а запас устойчивости сильно возрастает (кривая 5). При (кривая 3), (кривые 6 и 7) критические скорости практически одинаковы но запас устойчивости и при и при примерно в

2 раза больше, чем при

Рис. 4

Если кузов может поворачиваться относительно надрессорных балок, т. е. если боковая качка кузова не связана никакими условиями с углами поворота и 602 надрессорных балок, то имеются еще две степени свободы, и расчетной схемой будет система с 14 степенями свободы.

Для расширения зоны устойчивости можно ввести в узлы, соединяющие колесные пары с боковыми рамами, дополнительные упруговязкие элементы. Получится система, имеющая двойное (центральное и надбуксовое) рессорное подвешивание. Конструктивно это можно осуществить, установив резиновые прокладки в буксовые узлы стандартной тележки (рис. 4, где обозначения те же, что и на рис. 1). Это дает еще 20 степеней свободы, и расчетной схемой станет система с 34 степенями свободы. В первом случае (стандартная тележка, 14 степеней свободы) два уравнения

отделяются, а системы вида (1) имеют двенадцатый и десятый порядки. Во втором случае систем вида (1) будет три: двадцатого, восемнадцатого и восьмого порядков. Обе механические системы структурно устойчивы.

Оптимизация параметров рессорного подвешивания. Далее возникает задача об определении таких значений параметров механической системы, при которых степень ее устойчивости будет наибольшей. В соответствии с теоремой Ляпунова об устойчивости по первому приближению, нужно, чтобы было выполнено условие Величина в таком случае определяет запас устойчивости системы. Эта величина непрерывно зависит от параметров системы, которые рассматриваются как независимые переменные, а величина как функция этих переменных [27].

Собственные числа могут быть явно выражены через параметры системы только в простейших случаях. В рассматриваемом случае целевая функция может быть получена в результате вполне определенного вычислительного процесса. Значения параметров, при которых запас устойчивости будет наибольшим, можно получить в результате решения следующей задачи нелинейного программирования:

где вектор оптимизируемых параметров системы; область их допустимых значений; соответственно нижняя и верхняя границы параметров, определяемые конструктивными, технологическими и другими соображениями.

Для решения этой задачи разработан ряд алгоритмов как регулярных, так и использующих идею случайного поиска [11]. Целевая функция в заданной области параметров может быть многоэкстремальной, поэтому использован алгоритм локального поиска в комбинации со случайным выбором начальных условий.

Некоторые параметры системы, например коэффициент псевдоскольжения, в процессе эксплуатации могут изменяться, поэтому представляет интерес создание таких конструкций, при которых функция была бы наименее чувствительна к изменению параметров. Эту задачу можно решить численными методами, минимизируя штрафную функцию вида

где коэффициент штрафа; заданный запас устойчивости;

Здесь — весовой коэффициент; количество собственных чисел, удовлетворяющих условию

Для первой системы (14 степеней свободы) вектор оптимизируемых параметров имеет вид где — поперечная жесткость центрального подвешивания; - угловая жесткость тележки; коэффициент вязкого сопротивления демпферов подвешивания. Для второй системы (34 степени свободы) где и 64 — соответственно поперечная и продольная жесткости опирания боковой Рамы на буксу. Численное решение выполнено для контейнерной платформы на стандартных и модернизированных тележках. Функции цели вычисляли при и из двух значений выбирали большее. В табл. 3 приведены граничные от и начальные и рациональные а значения параметров.

Значения близки для обеих систем, следовательно, при рациональных значениях параметров обе системы практически имеют одинаковый запас устойчивости.

3. Значения параметров контейнерной платформы

(см. скан)

Влияние упругости пути в горизонтальном поперечном направлении на устойчивость движения четырехосного вагона. Рассмотрим систему с 12 степенями свободы. При определении сил псевдоскольжения нужно принять во внимание поперечные отжатая рельсов где номер колеса. В формулах (5) появятся новые слагаемые. в первой, в круглых скобках, а во второй Система имеет дополнительно 4 степени свободы (по числу колесных пар).

Рис. 5

Рис. 6

Соответствующий обобщенные координаты обозначим через а циклическую координату через По-прежнему первые два уравнения отделяются, а в система вида (1) появятся слагаемые, в которые войдут новые обобщенные координаты и скорости. Из условий равенства боковых давлений на рельсы и их реакций получатся дифференциальные уравнения

где поперечная горизонтальная жесткость пути.

Эти уравнения следует присоединить к системам вида (1). Зоны устойчивости в случаях порожнего и груженою вагона приведены на рис. 5 и 6. При расчетах

взято При горизонтальная поперечная упруюсть пути практически не влияет на устойчивость движения четырехосного грузового вагона.

Рельсовые экипажи, имеющие двойное (центральное и надбуксовое) рессорное подвешивание (пассажирские вагоны, вагоны электропоездов, современные локомотивы). Если считать твердыми телами колесные пары, рамы тележек и кузов рельсового экипажа, то тогда каждая тележка состоит из трех твердых тел и расчетная схема включает семь твердых тел. На систему наложены такие голочомные связи, что она имеет 17 степеней свободы [20]. Можно выбрать обобщенные координаты так, что для исследования устойчивости движения получатся две системы дифференциальных уравнений вида (1) десятого и шестого порядков. Оказывается, что движение системы, соответствующей рассмотренной расчетной схеме, неустойчиво. Применив сдвиг корней, найдем, что в систему нужно ввести упругие элементы, соединяющие колесные пары с рамой тележки в продольном и поперечном горизонтальных направлениях и демпферы вязкого трения [27]. Новая система имеет 30 степеней свободы. Пусть продольные перемещения тележек и колесных пар. Для упрощения положим, что Такие связи не повлияют на системы уравнений, которыми определяется устойчивость движения, и в то же время механическая система будет иметь не 30, а 26 степеней свободы. Для исследования устойчивости получаются две системы дифференциальных уравнений вида (1) восемнадцатого и четырнадцатого порядков [27]. Исходные данные для расчетов приведены в табл. 4. На рис. 7 изображены графики зависимости от скорости движения ваюна. Линия 1 соответствует значениям жесткости линия 2 — тем же значениям но Линии 3 и 4 построены при значениях к соответственно в 2 раза меньше и в 2 раза больше его номинального значения. Линия 5 получена при номинальных значениях к, но при

Рис. 7

Ходовыми частями подавляющего большинства пассажирских вагонов являются тележки которые отличаются тем, что кузов вагона опирается не на подпятник, а на боковые скользуны. При поворотах кузова относительно тележек возьикает сила трения, которая должна стабилизировать движение (см. ниже устойчивость движения СВЛ). У электровозов буксы снабжены поводками с решновыми втулками, что дает возможность колесным парам перемещаться относительно рамы тележки в вертикальном и тризонтальнык поперечном и продольном направлениях. Расчетные схемы этих локомотивов совпадают с расчетной схемой Исходные данные для расчетов см. в табл. 4.

Исследования показали, что для электровозов рациональными по условию устойчивости движения будут значения при значениях остальных параметров, приведенных в табл. 4. В таком случае

Современные локомотивы имеют двойное рессорное подвешивание, и для исследования устойчивости их движения можно пользоваться расчетной свечой

Устойчивость движения рельсовых экипажей при существенных нелинейностях. Нелинейности возникают вследствие зазоров в соединениях узлов рельсовых экипажей, наличия гребней колес, сил сухого трения в демпферах и узлах опирания кузова на тележку и т. п.

Физическая нелинейность сил взаимодействия колес и рельсов получается потоку, что участки сцепления и скольжения расположены несимметрично относительно поперечной оси контактного эллипса. Если принять во внимание сухое трение на участке скольжения, то составляющие силы, денствующей на колесо с номером к,

(см. скан)

(см. скан)

где угол поворота колесной пары относительно вертикальной оси; величины, зависящие от коэффициента трения, упругих постоянных и силы давления колеса на рельс [27]. В выражения главного вектора и главного момента войдут нелинейные члены, и уравнения возмущенного движения будут нелинейными. линеаризации уравнений следует пользоваться линейной аппроксимацией Чебышева.

Геометрическая нелинейность сил взаимодействия при одноточечном касании колеса с рельсом получается вследствие нелинейной зависимости между изменением радиуса колеса и поперечным перемещением колесной пары относительно головки рельса. Если боковые рамы тележки и колесные пары могут поворачиваться друг относительно друга в горизонтальной плоскости и если принять во внимание вертикальную составляющую силы тяжести, то

где углы поворотов относительно вертикальной оси колесной пары и боковины тележки; вертикальная состав тяющая давления колеса на рельс; угол между плоскостью контакта колеса с рельсом и горизонтальной плоскостью.

Рис. 8

Рис. 9

Рассмотрим два варианта приведенного профиля колеса (рис. 8): криволинелный (линия 1) и билинейный (линия 2) с уклонами основная поверхность катания колеса и гребень.

Аналитические выражения сил сухого трения не могут быть разложены в ряды Тейлора, и, следовательно, линеаризация уравнений возмущенного движения обычным путем невозможна. Эти аналитические выражения можно заменить линейными функциями в пределах заданных амплитуд, установив наилучшее приближена функции где А — относительное перемещение тел. Однако в этих случаях исследование устойчивости по первому приближению ненадежно, нужно решать исходную систему нелинейных уравнений возмущенного движения. Для этого можно использовать АВМ или численное интегрирование.

При силах сухого трения и некоторых соотношениях параметров движение оказывается устойчивым, но не асимптотическим. Возможны случаи появления автоколебаний скоростного экипажа с двойным рессорным подвешиванием, возникающих вследствие сухого трения в зонах опирания кузова на тележки. Момент сил сухого треиия обозначим через Возмущенное движение описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений 40-го порядка вида где нелинейная вектор-функция. Решение уравнений можно получить с помощью для моторного вагона электропоезда На рис. 9 кривая соответствует границе, разделяющей области асимптотической устойчивости

(не заштрихована) и автоколебаний (заштрихована) в плоскости параметров при При движение асимптотически устойчиво до На рис. 10 приведены фазовые траектории соответствующие точке К на рис. 9. Сплошной линией изображена фазовая траектория, полученная при а штриховой — при Фазовые траектории приближаются к устойчивому предельному циклу с амплитудой а.

Был проведен анализ зависимости амплитуд а от момента сил сухого трепня при заданных значениях Эти зависимости позволяют определить амплитуды чередующихся устойчивых и неустойчивых предельных циклов и области притяжения.

В рассмотренном случае амплитуды автоколебаний меньше, чем зазор в рельсовой колее, так что при движении вагона гребни колес не упираются в головки рельсов. В иных случаях при сухом трении амплитуды предельных циклов превышают зазор в рельсовой колее либо происходит потеря устойчивости, и вагон удерживается на рельсах гребиями колес.

Вследствие колебаний рельсовых экипажей сила давления на оси колесных пар изменяется во времени, поэтому изменяются и силы псевдоскольжения. Уравнения возмущенного движения имеют переменные коэффициенты, т. е. системы неавтономны. Однако, если даже то для грубых систем, т. е. таких, в которых значительные изменения параметров мало влияют на положение границ зон устойчивости (грузовые и пассажирские вагоны, СВЛ), критические скорости неавтономных систем отличаются от критических скоростей соответствующих автономных систем не более чем на 10% в сторону уменьшения.

Рис. 10

Потеря устойчивости невозмущенного движения может произойти и при движении по криволинейным участкам пути. Исследования показывают, что значения критической скорости увеличиваются при уменьшении радиусов кривой.

Скоростной вагон-лаборатория с реактивной тягой (СВЛ). Расчетная схема такая же, что и для пассажирского вагона (семь твердых тел, 26 степеней свободы). Следует принять во внимание упругость пути в горизонтальном поперечном направлении, нелинейность сил взаимодействия колес и рельсов, силы сухого трения в местах опирания кузова на тележки. В таком случае устойчивость движения определяется решением системы нелинейных уравнений сорокового порядка [27]. Решение получено с помощью и численным интегрированием на ЭВМ. Критическая скорость зависит от момента сил сухого трения при поворотах кузова относительно тележки. При увеличении от до возрастает от 54 до При остается практически постоянной.

С помощью СВЛ на одном из участков железной дороги была проведена экспериментальная проверка разработанной теории. По условиям движения и мощности Двигателей удалось развивать скорость до Во всем диапазоне скоростей от до движение СВЛ было асимптотически устойчивым. Силы бокового давления на рельсы вследствие вынужденных колебаний, вызываемых неровностями пути, не превосходили (при движении полувагонов на стандартных тележках со скоростью силы бокового давления вследствие потери устойчивости равнялись

Для проверки разработанных методов определения изменили конструкцию ходовых частей СВЛ так, чтобы оказалась в пределах реализуемых скоростей. Для уменьшения силы сухого трения опирание кузова на тележку перенесли с боковых скользунов на хорошо смазанную центральную пяту. Для предварительной теоретической оценки была взята линейная система и путь принят абсолютно

жестким. Исследования показали, что если убрать демпферы в надбуксовом подвешивании и изменить на то при а при Эти изменения были внесены в ходовые части, тогда экспериментально найденное значение [25] Теоретические исследования устойчивости движения СВЛ с изменениями в ходовых частях как нелинейной системы показали, что найденным экспериментально границам соответствуют значения коэффициента сухого трения в подпятнике 0,07 и 0,18 [25].

Исключение быстрозатухающих решений. Для упрощения исследований устойчивости движения нелинейных систем нужно расщепить заданную систему нелинейных уравнений на блоки более низкого порядка. Разрабатываются конструктивные способы понижения порядка автономных и неавтономных систем нелинейных дифференциальных уравнений [34]. Эти способы основаны на принципе сведения Ляпунова. Понижение порядка систем уравнений выполняется путем исключения быстрозатухающих решений. Если среди решений имеются быстрозатухающие, то в спектре матрицы линеаризованной системы уравнений есть собственные числа, лежащие в левой полуплоскости далеко от мнимой оси.

Для исключения быстрозатухающих решений исходную систему дифференциальных уравнений возмущенного движения линеаризуют с помощью линейного приближения Чебышева и приводят к главным фазовым координатам. Главные координаты, соответствующие быстрозатухающим решениям, полагают равными нулю. Это дает возможность выразить часть обобщенных координат через остальные. Полученные выражения подставляют в исходную нелинейную систему. При этом порядок системы уравнений, описывающей установившийся режим колебаний, существенно понижается. В случае, когда система не асимптотически устойчива, но имеет устойчивый предельный цикл, такой прием позволяет определять амплитуды, соответствующие предельному циклу, алгебраически.

Применимость этого способа к неавтономным системам была проверена на задаче о колебаниях грузовой платформы, предназначенной для скоростных перевозок [26]. Устойчивость движения этого экипажа определялась из системы уравнений 32-го порядка. Рассматривалось движение по пути, ось которого в плане имеет синусоидальные отклонения от прямой где V — скорость движения; длина волны. Был взят наиболее неблагоприятный резонансный случай. При этом порядок неавтономной системы был понижен с 32-го до второго. Расхождение при интегрировании полной и укороченной системы составило 5,7%.