2 ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЗАКРУЧЕННЫХ ЛОПАТОК

Незакрученные лопатки используют для первых ступеней турбин и последних ступеней компрессоров. Для основной частоты изгибных колебаний результаты оказываются пригодными и при малой закрутке лопаток. Излагаемые методы расчета частот и форм колебаний основываются на теории стержней.

Система координат показана на рис. 4.

Рис. 4

Рис. 5

Ось совпадает с осью вращения, ось направлена вдоль радиуса и проходит через центр тяжести закрепленного сечения, ось X расположена в пюскости вращения и образует с осями и правую систему координат В центре тяжести сечения расположена местная система координат, оси х, у соответственно параллельны осям оси повернутые на угол являются главными осями сечения.

Основные уравнения. Рассмотрим простейшую модель изгибных колебаний незакрученных лопаток без учета влияния центробежных сил (рис. 5).

Колебания происходят в одной из главных плоскостей (в плоскости наименьшей жесткости). Результаты, после изменения обозначений, оказываются справедливыми и для колебаний в другой главной плоскости (плоскости наибольшей жесткости).

Определение частот и форм колебаний интегральным методом. Для амплитудного прогиба жестко заделанной у корня лопатки краевое интегральное уравнение в операторной форме имеет вид [7]

где

угловая частота колебаний; оператор

Величины соответственно жесткость сечения на изгиб и масса единицы длины лопатки.

Формы колебаний удовлетворяют условиям ортогональности

Уравнение (2) решается методом последовательных приближений по схеме [7]

где индекс приближения.

Величина определяется из равенства и в концевом сечении лопатки

В качестве исходного приближения принимается Процесс сходится после двух-трех приближений и определяет первую (наименьшую) частоту и соответствующую форму колебаний. Для определения второй изгибной частоты и формы колебаний подобным методом решается уравнение

форма колебаний (собственная функция), соответствующая первой частоте [применяется по второму или третьему приближению (7)]. Расчет по уравнению (9) обеспечивает ортогональность к первой форме колебаний при произвольном исходном приближении. В ряде случаев более эффективными оказываются интегральные

уравнения колебаний лопатки, составленные относительно амплитудного значения изгибающего момента:

где А, определяется по формуле (3), а оператор

Условия ортогональности для изгибающих моментов

Достаточная точность расчета достигается при использовании 10—20 участков и интегрировании по правилу трапеций.

Определение частот и форм колебаний численным интегрированием системы дифференциальных уравнений. Уравнение колебаний (2) заменяется системой четырех уравнений первого порядка. Для этого чтобы система не имела коэффициентов, содержащих производные исходных геометрических характеристик, и для упрощения краевых условий принимается вектор (матрица-столбец) основных параметров

где амплитудные значения смещения, угла поворота сечения, изгибающего момента и перерезывающей силы, знак транспонирования. Матричное уравнение

где

При решении уравнения (14) по методу начальных параметров учитываются значения в корневом сечении. Далее задаются некоторым значением частоты колебаний и проводится интегрирование уравнения (14) при двух начальных условиях:

Интегрирование ведется с помощью метода Рунге-Кутта. Для достаточной точности определения высоких частот колебаний приходится использовать метод прогонки [6] и большое число расчетных сечений (порядка 50).

В результате получаются два линейно независимых решения уравнения (14):

зависящие также выбранного сечения

Краевые условия на свободном конце лопатки будут удовлетворены, если

Значения частот колебаний определяются путем последовательного вычисления методом Ньютона или другими способами. Достоинства метода — общность подхода, возможность использования стандартных программ. Недостатки метода — отсутствие наглядности решения, трудность проверки точности результатов, необходимость использования ЭВМ с достаточно большой памятью и быстродействием.

Определение частот и форм колебаний вариационным методом. Вариационное уравнение изгиба лопатки можно записать в виде [8]

где амплитудное значение кривизны. Амплитудное значение изгибающего момента

Предполагая по методу Ритца

где заранее выбранные функции; неизвестные параметры, и считая вариацию

получаем из (16) систему линейных алгебраических уравнений

где

Частотное уравнение имеет вид

Функции необязательно должны удовлетворять силовым краевым условиям на свободном конце лопатки, но точность расчета повышается, если принять Для приближенной оценки первой частоты можно использовать только один член ряда (18), и тогда из условия (22) при введении безразмерной длины получим

Представление второй производной прогиба в виде ряда (18) дает более точный результат, чем обычное разложение в ряд так как расчетные зависимости не содержат операции дифференцирования. Если же, как обычно, использовать разложение

причем в корневом сечении то

Приближенная формула для первой нзгибной частоты

Так как вариация функций при расчете имеет ограничения, то по расчету всегда получаются значения частот несколько выше истинных. Достоинства вариационного метода — общность и наглядность решения, простота расчетных зависимостей. Недостаток метода — трудность оценки точности решения, понижение точности при оценке распределения напряжений, неопределенность при выборе аппроксимирующих функций Последний недостаток устраняется с помощью применения вариационно-разностного метода, близкого к методу конечных элементов. В этом методе в качестве основных неизвестных применяются значения кривизны на участке лопатки. При использовании линейного закона изменятся кривизны в пределах участка

Из вариационного уравнения изгиба получается система линейных уравнений относительно Обращение в нуль детерминанта системы приводит к частотному уравнению.