Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4. АНИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫРазличают неподвижную анизотропию, когда анизотропными свойствами обладают опоры, и подвижную, когда анизотропным является вращающийся вал. Несмотря на кажущуюся близость этих видов анизотропии, влияние их на колебания роторов существенно различается. Основные результаты для анизотропных систем изложены в работах [17, 57, 69]. Неподвижная анизотропия. Ниже приведены отдельно случаи симметричных и кососимметричных колебаний. Симметричные колебания. Ротор с одним неуравновешенным диском опирается на две одинаковые опоры с анизотропными упругими свойствами. Опоры полагаются безмассовыми, а направления
имеют частные решения
Решения (39) описывают движение по эллиптической траектории с резонансами при двух скоростях
На рис 15 показан вид амплитудных кривых при Кососимметртные колебания. Уравнение движения изотропного неуравновешенного ротора на анизотропных упругих опорах (см. рис. 5) имеют вид
где
и представлены на рис. 16 в виде зависимости от частоты Критические скорости
и определяются графически по рис. 16 как точки пересечения частотных кривых с прямой
Рис. 15
Рис. 16 При уменьшении анизотропии опор Подвижная анизотропия. Предполагается, что опоры ротора изотропны Ротор двоякой жесткости с одним диском. В изображенной на рис. 3, а системе вал ротора имеет различные жесткости на изгиб
причем везде в дальнейшем полагается, что Уравнения движения в системе координат, вращающейся с угловой скоростью
Две частоты
Зависимость частот
Рис. 17
Рис. 18 Другая частота в этом диапазоне становится мнимой, и в системе возникает неустойчивость, характеризуемая апериодическим движением в подвижной системе координат и движением по раскручивающейся спирали в неподвижной системе координат с частотой Анализ однородной части системы (43) приводит к условию устойчивости
которое определяет область неустойчивых скоростей вращения, расположенную внутри интервала
совсем пропадает. На рис. 18 показаны границы областей устойчивости в плоскости параметров Вследствие линейности системы можно отдельно рассматривать колебания от неуравновешенности и от веса. Неуравновешенность приводит в подвижных координатах к постоянным смещениям:
Этим смещениям в неподвижных координатах соответствуют круговые колебания с частотой вращения
Из решения (47) следует, что на границе устойчивости [см. (45)] амплитуды вынужденных колебаний становятся неограниченно большими, несмотря на наличие в системе сил трения. При достаточно больших силах трения, способных стабилизировать систему по условию (46), амплитуды колебаний вблизи собственных частот становятся уже ограниченными. Из решения (48) следует, что равномерно вращающийся неуравновешенный ротор двоякой жесткости представляет собой неконсервативную систему даже при отсутствии сил трения. Работа сил упругости вала на замкнутой круговой траектории Всегда имеющиеся в реальных системах нелинейные силы ограничивают амплитуды вынужденных колебаний от неуравновешенности на границах области неустойчивости, а также колебания внутри этой области. При этом оказывается, что вынужденные и параметрические колебания становятся связанными. Ниже приведены результаты для случая, когда в системе действуют изотропные нелинейные силы Демпфирования, пропорциональные квадрату амплитуды перемещений диска ротора с коэффициентом х. Перемещения
На рис. 19 показаны амплитудные кривые (1 — уравновешенный ротор; 2 — неуравновешенный ротор; 3,4 — линейные и нелинейные колебания изотропного ротора) для результирующего перемещения Решения системы (43), преобразованные к неподвижной системе координат
определяют движение по круговым траекториям в направлении вращения ротора с частотой
Рис. 19
Рис. 20 Для системы без демпфирования в решении (50) величины
Из выражений (51), видно, что амплитуда колебаний
называемой критической скоростью зторого рода. При малой анизотропии эта скорость близка к половине усредненной собственной частоты, т. е. На рис. 20 построены амплитудные характеристики перемещений Анизотропия ротора может быть также обусловлена анизотропией вращающегося вместе с ротором магнитного поля, что имеет место, например, в двухполюсных синхронных электрических машинах. Для колебаний анизотропного ротора на изотропных упругодемпферных опорах (см. рис. 8) в основном сохраняются изложенные особенности. Однако дополнительно 33 счет массы опор вместо одной появляются две области неустойчивости, каждая из которых как бы охватывает соответствующую усредненную собственную частоту ротора (рис. 21). Низшая область неустойчивости соответствует колебаниям, при которых ротор и опоры движутся в фазе, высшая — в противофазе. Демпфирование в опорах сужает области неустойчивости, особенно высшую. Ротор с распределенными параметрами. Уравнения движения в подвижной системе координат для неуравновешенного ротора с горизонтальной осью (без учета деформаций сдвига и гироскопического эффекта) имеют вид
В случае, когда ориентация главных направлений жесткостей не изменяется по длине ротора и граничные условия одинаковы для главных направлений, решение системы (53) можно представить разложением по формам собственных колебаний соответствующей консервативной задачи,
Величины
где
здесь
Рис. 21 Система (55) аналогична системе (43), вследствие чего колебания системы с распределенными параметрами по каждой форме будут во многом аналогичны колебаниям системы с одним диском. Так, при скоростях вращения, лежащих в диапазонах колебаний с соответствующими критическими скоростями второго рода будут отсутствотать или проявляться очень слабо. Ротор с диском, имеющим неодинаковые экваториальные моменты инерции. Идеально уравновешенный диск может совершать только угловые перемещения вследствие деформации изотропной упругой мембраны с коэффициентом жесткости 5 (см. рис. 5). Моменты инерции диска относительно осей (ось — ось вращения) соответственно равны Уравнения для угловых перемещений ротора в подвижных координатах [61 имеет вид
Использование критерия Рауса-Гурвица приводит к условию устойчивости
из которого непосредственно следует, что для изотропного ротора Условие (57) позволяет выделить три характерных соотношения между моментами инерции диска 1) 2) 3) В частном случае ротора без опор, когда
т. е. для устойчивости необходимо, чтобы вращение происходило вокруг оси, момент инерции относительно которой или минимален или максимален, что совпадает с известным результатом для свободного вращения твердого тела вокруг неподвижной точки [10]. Неподвижная и подвижная анизотропия. В общем случае как опоры, так и ротор могут обладать анизотропными свойствами, что приводит, с одной стороны, к существенному усложнению математических выкладок задачи из-за того, что в уравнениях движения всегда присутствуют периодические коэффициенты, а, с другой стороны, приводит к более сложному характеру возникающих колебаний из-за проявления особенностей, вызываемых по отдельности как анизотропией опор и ротора, так и совместным действием этих факторов [53, 61, 67]. Анализ показал, что для таких систем, в случаях, когда анизотропия ротора и опор не очень велика, можно ограничиться отысканием лишь основной области параметрических колебаний; при расчете вынужденных колебаний от неуравновешенности можно ограничиться первой гармоникой, а вынужденных колебаний от весовой нагрузки — нулевой и второй гармоникой от частоты вращения.
|
1 |
Оглавление
|