Главная > Вибрации в технике, Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. АНИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ

Различают неподвижную анизотропию, когда анизотропными свойствами обладают опоры, и подвижную, когда анизотропным является вращающийся вал. Несмотря на кажущуюся близость этих видов анизотропии, влияние их на колебания роторов существенно различается. Основные результаты для анизотропных систем изложены в работах [17, 57, 69].

Неподвижная анизотропия. Ниже приведены отдельно случаи симметричных и кососимметричных колебаний.

Симметричные колебания. Ротор с одним неуравновешенным диском опирается на две одинаковые опоры с анизотропными упругими свойствами. Опоры полагаются безмассовыми, а направления главными для жесткостей опор, обозначаемых соответственно и Уравнения движения диска без учета сил трения

имеют частные решения

Решения (39) описывают движение по эллиптической траектории с резонансами при двух скоростях

На рис 15 показан вид амплитудных кривых при В диапазоне скоростей движение по эллипсу происходит в направлении, противоположном вращению ротора.

Кососимметртные колебания. Уравнение движения изотропного неуравновешенного ротора на анизотропных упругих опорах (см. рис. 5) имеют вид

где и некоторые эквивалентные жесткости при угловых поворотах. Собственные частоты системы определяются из уравнения

и представлены на рис. 16 в виде зависимости от частоты при нескольких значениях отношения

Критические скорости при колебаниях от неуравновешенности находятся из уравнения

и определяются графически по рис. 16 как точки пересечения частотных кривых с прямой При всегда существуют две критических скорости — высшая и низшая; при только одна низшая критическая скорость прямой прецессии. Заметим, что в аналогичной задаче для изотропной системы низшие критические скорости вообще отсутствуют.

Рис. 15

Рис. 16

При уменьшении анизотропии опор низшая критическая скорость по величине стремится к так называемой критической скорости обратной прецессии.

Подвижная анизотропия. Предполагается, что опоры ротора изотропны Ротор двоякой жесткости с одним диском. В изображенной на рис. 3, а системе вал ротора имеет различные жесткости на изгиб в двух главных направлениях и вращающейся системы координат, т. е. является валом двоякой жесткости. В дальнейшем используются также понятия о средней жесткости коэффициенте анизотропии ротора у, парциальных собственных частотах в главных направлениях а также понятие о средней собственной частоте которые представлены соотношениями:

причем везде в дальнейшем полагается, что

Уравнения движения в системе координат, вращающейся с угловой скоростью (вподвижной системе), имеют вид

Две частоты и собственных колебаний (без учета демпфирования) в под. вижной системе координат определяются из уравнения

Зависимость частот от скорости со при фиксированном значении параметра представлена на рис. 17, из которого видно, что в диапазоне скоростей вращения существует только одна собственная частота

Рис. 17

Рис. 18

Другая частота в этом диапазоне становится мнимой, и в системе возникает неустойчивость, характеризуемая апериодическим движением в подвижной системе координат и движением по раскручивающейся спирали в неподвижной системе координат с частотой

Анализ однородной части системы (43) приводит к условию устойчивости

которое определяет область неустойчивых скоростей вращения, расположенную внутри интервала Демпфирование уменьшает ширину области неустойчивости и при

совсем пропадает.

На рис. 18 показаны границы областей устойчивости в плоскости параметров при фиксированных значениях коэффициента относительного демпфирования Области неустойчивости заштрихованы; они вообще отсутствуют при выполнении приближенного соотношения

Вследствие линейности системы можно отдельно рассматривать колебания от неуравновешенности и от веса.

Неуравновешенность приводит в подвижных координатах к постоянным смещениям:

Этим смещениям в неподвижных координатах соответствуют круговые колебания с частотой вращения

Из решения (47) следует, что на границе устойчивости [см. (45)] амплитуды вынужденных колебаний становятся неограниченно большими, несмотря на наличие в системе сил трения. При достаточно больших силах трения, способных стабилизировать систему по условию (46), амплитуды колебаний вблизи собственных частот становятся уже ограниченными.

Из решения (48) следует, что равномерно вращающийся неуравновешенный ротор двоякой жесткости представляет собой неконсервативную систему даже при отсутствии сил трения. Работа сил упругости вала на замкнутой круговой траектории поэтому система будет консервативной только для изотропного ротора. Неконсервативность системы позволяет понять причины потери устойчивости ротора двоякой жесткости.

Всегда имеющиеся в реальных системах нелинейные силы ограничивают амплитуды вынужденных колебаний от неуравновешенности на границах области неустойчивости, а также колебания внутри этой области. При этом оказывается, что вынужденные и параметрические колебания становятся связанными.

Ниже приведены результаты для случая, когда в системе действуют изотропные нелинейные силы Демпфирования, пропорциональные квадрату амплитуды перемещений диска ротора с коэффициентом х. Перемещения в подвижных координатах определяются из нелинейной системы (без учета веса).

На рис. 19 показаны амплитудные кривые (1 — уравновешенный ротор; 2 — неуравновешенный ротор; 3,4 — линейные и нелинейные колебания изотропного ротора) для результирующего перемещения при фиксированных значениях параметров где некоторая характерная для ротора величина, имеющая размерность длины. На том же рисунке показана амплитудная кривая для изотропного ротора, имеющего собственную частоту, равную «усредненной» собственной частоте анизотропного ротора. Указанное выше значение параметра определяет уровень нелинейных сил, которые в изотропной системе снижают амплитуды вынужденных колебаний при резонансе примерно на 10% по сравнению с соответствующей линейной системой. Из рис. 19 следует, что при отсутствии неуравновешенности в диапазоне неустойчивости будут существовать только параметрические колебания, интенсивность которых определяется в основном параметрами Для неуравновешенного ротора на границе устойчивости амплитуды будут ограничены, а в диапазоне неустойчивости будут существовать совместные вынужденные и параметрические колебания с общей частотой Неустойчивая ветвь решения показана штриховой линией. Из рис 19 наглядно видно, что для анизотропного ротора уровень колебаний вблизи резонансов существенно более высокий, чем для изотропного ротора.

Решения системы (43), преобразованные к неподвижной системе координат при действии нагрузки, равной весу,

определяют движение по круговым траекториям в направлении вращения ротора с частотой Движение происходит вокруг центра, величина смещения которого от линии опор зависит от величины статической нагрузки, скорости вращения и сил демпфирования.

Рис. 19

Рис. 20

Для системы без демпфирования в решении (50) величины а величины

Из выражений (51), видно, что амплитуда колебаний пропорциональна разности жесткостей ротора, и система имеет резонанс при скорости

называемой критической скоростью зторого рода. При малой анизотропии эта скорость близка к половине усредненной собственной частоты, т. е.

На рис. 20 построены амплитудные характеристики перемещений Для ротора с анизотропией при нескольких значениях коэффициента демпфирования

Анизотропия ротора может быть также обусловлена анизотропией вращающегося вместе с ротором магнитного поля, что имеет место, например, в двухполюсных синхронных электрических машинах.

Для колебаний анизотропного ротора на изотропных упругодемпферных опорах (см. рис. 8) в основном сохраняются изложенные особенности. Однако дополнительно 33 счет массы опор вместо одной появляются две области неустойчивости, каждая из которых как бы охватывает соответствующую усредненную собственную частоту

ротора (рис. 21). Низшая область неустойчивости соответствует колебаниям, при которых ротор и опоры движутся в фазе, высшая — в противофазе. Демпфирование в опорах сужает области неустойчивости, особенно высшую.

Ротор с распределенными параметрами. Уравнения движения в подвижной системе координат для неуравновешенного ротора с горизонтальной осью (без учета деформаций сдвига и гироскопического эффекта) имеют вид

В случае, когда ориентация главных направлений жесткостей не изменяется по длине ротора и граничные условия одинаковы для главных направлений, решение системы (53) можно представить разложением по формам собственных колебаний соответствующей консервативной задачи,

Величины находятся из системы уравнений

где

здесь — собственные частоты ротора как стержня в двух главных направлениях.

Рис. 21

Система (55) аналогична системе (43), вследствие чего колебания системы с распределенными параметрами по каждой форме будут во многом аналогичны колебаниям системы с одним диском. Так, при скоростях вращения, лежащих в диапазонах возможна потеря устойчивости. В диапазонах неустойчивости имеют место максимумы вибраций от неуравновешенности, и эти диапазоны определяют группы соответствующих критических скоростей. Весовая нагрузка, а также любая другая нагрузка неизменного направления, приводит к колебаниям с частотой с максимумами при критических скоростях второго рода, равных при малой анизотропии половине усредненных критических скоростей от неуравновешенности. Интенсивность этих колебаний зависит также от величины зависящей, в свою очередь, от формы колебаний. В частности, для симметричного ротора на двух опорах для четных величина и эти формы

колебаний с соответствующими критическими скоростями второго рода будут отсутствотать или проявляться очень слабо.

Ротор с диском, имеющим неодинаковые экваториальные моменты инерции. Идеально уравновешенный диск может совершать только угловые перемещения вследствие деформации изотропной упругой мембраны с коэффициентом жесткости 5 (см. рис. 5). Моменты инерции диска относительно осей (ось — ось вращения) соответственно равны причем для рассматриваемой задачи важно, что

Уравнения для угловых перемещений ротора в подвижных координатах [61 имеет вид

Использование критерия Рауса-Гурвица приводит к условию устойчивости

из которого непосредственно следует, что для изотропного ротора движение всегда устойчиво.

Условие (57) позволяет выделить три характерных соотношения между моментами инерции диска

1) , т. е. вращение происходит вокруг оси, момент инерции относительно которой максимален. Движение в этом случае всегда будет устойчивым;

2) т. е. вращение происходит вокруг оси, момент инерции относительно которой имеет промежуточное значение. В этом случае до скорости, определяемой из условия движение будет устойчивым, а при больших скоростях — неустойчивым;

3) , т. е. вращение происходит вокруг оси, момент инерции относительно которой минимален. В этом случае в соответствий с условием (57) сущестствует диапазон неустойчивых скоростей вращения, ширина которого зависит от анизотропии диска.

В частном случае ротора без опор, когда , условие устойчивости имеет вид

т. е. для устойчивости необходимо, чтобы вращение происходило вокруг оси, момент инерции относительно которой или минимален или максимален, что совпадает с известным результатом для свободного вращения твердого тела вокруг неподвижной точки [10].

Неподвижная и подвижная анизотропия. В общем случае как опоры, так и ротор могут обладать анизотропными свойствами, что приводит, с одной стороны, к существенному усложнению математических выкладок задачи из-за того, что в уравнениях движения всегда присутствуют периодические коэффициенты, а, с другой стороны, приводит к более сложному характеру возникающих колебаний из-за проявления особенностей, вызываемых по отдельности как анизотропией опор и ротора, так и совместным действием этих факторов [53, 61, 67]. Анализ показал, что для таких систем, в случаях, когда анизотропия ротора и опор не очень велика, можно ограничиться отысканием лишь основной области параметрических колебаний; при расчете вынужденных колебаний от неуравновешенности можно ограничиться первой гармоникой, а вынужденных колебаний от весовой нагрузки — нулевой и второй гармоникой от частоты вращения.

1
Оглавление
email@scask.ru