4. АНИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ

Различают неподвижную анизотропию, когда анизотропными свойствами обладают опоры, и подвижную, когда анизотропным является вращающийся вал. Несмотря на кажущуюся близость этих видов анизотропии, влияние их на колебания роторов существенно различается. Основные результаты для анизотропных систем изложены в работах [17, 57, 69].

Неподвижная анизотропия. Ниже приведены отдельно случаи симметричных и кососимметричных колебаний.

Симметричные колебания. Ротор с одним неуравновешенным диском опирается на две одинаковые опоры с анизотропными упругими свойствами. Опоры полагаются безмассовыми, а направления главными для жесткостей опор, обозначаемых соответственно и Уравнения движения диска без учета сил трения

имеют частные решения

Решения (39) описывают движение по эллиптической траектории с резонансами при двух скоростях

На рис 15 показан вид амплитудных кривых при В диапазоне скоростей движение по эллипсу происходит в направлении, противоположном вращению ротора.

Кососимметртные колебания. Уравнение движения изотропного неуравновешенного ротора на анизотропных упругих опорах (см. рис. 5) имеют вид

где и некоторые эквивалентные жесткости при угловых поворотах. Собственные частоты системы определяются из уравнения

и представлены на рис. 16 в виде зависимости от частоты при нескольких значениях отношения

Критические скорости при колебаниях от неуравновешенности находятся из уравнения

и определяются графически по рис. 16 как точки пересечения частотных кривых с прямой При всегда существуют две критических скорости — высшая и низшая; при только одна низшая критическая скорость прямой прецессии. Заметим, что в аналогичной задаче для изотропной системы низшие критические скорости вообще отсутствуют.

Рис. 15

Рис. 16

При уменьшении анизотропии опор низшая критическая скорость по величине стремится к так называемой критической скорости обратной прецессии.

Подвижная анизотропия. Предполагается, что опоры ротора изотропны Ротор двоякой жесткости с одним диском. В изображенной на рис. 3, а системе вал ротора имеет различные жесткости на изгиб в двух главных направлениях и вращающейся системы координат, т. е. является валом двоякой жесткости. В дальнейшем используются также понятия о средней жесткости коэффициенте анизотропии ротора у, парциальных собственных частотах в главных направлениях а также понятие о средней собственной частоте которые представлены соотношениями:

причем везде в дальнейшем полагается, что

Уравнения движения в системе координат, вращающейся с угловой скоростью (вподвижной системе), имеют вид

Две частоты и собственных колебаний (без учета демпфирования) в под. вижной системе координат определяются из уравнения

Зависимость частот от скорости со при фиксированном значении параметра представлена на рис. 17, из которого видно, что в диапазоне скоростей вращения существует только одна собственная частота

Рис. 17

Рис. 18

Другая частота в этом диапазоне становится мнимой, и в системе возникает неустойчивость, характеризуемая апериодическим движением в подвижной системе координат и движением по раскручивающейся спирали в неподвижной системе координат с частотой

Анализ однородной части системы (43) приводит к условию устойчивости

которое определяет область неустойчивых скоростей вращения, расположенную внутри интервала Демпфирование уменьшает ширину области неустойчивости и при

совсем пропадает.

На рис. 18 показаны границы областей устойчивости в плоскости параметров при фиксированных значениях коэффициента относительного демпфирования Области неустойчивости заштрихованы; они вообще отсутствуют при выполнении приближенного соотношения

Вследствие линейности системы можно отдельно рассматривать колебания от неуравновешенности и от веса.

Неуравновешенность приводит в подвижных координатах к постоянным смещениям:

Этим смещениям в неподвижных координатах соответствуют круговые колебания с частотой вращения

Из решения (47) следует, что на границе устойчивости [см. (45)] амплитуды вынужденных колебаний становятся неограниченно большими, несмотря на наличие в системе сил трения. При достаточно больших силах трения, способных стабилизировать систему по условию (46), амплитуды колебаний вблизи собственных частот становятся уже ограниченными.

Из решения (48) следует, что равномерно вращающийся неуравновешенный ротор двоякой жесткости представляет собой неконсервативную систему даже при отсутствии сил трения. Работа сил упругости вала на замкнутой круговой траектории поэтому система будет консервативной только для изотропного ротора. Неконсервативность системы позволяет понять причины потери устойчивости ротора двоякой жесткости.

Всегда имеющиеся в реальных системах нелинейные силы ограничивают амплитуды вынужденных колебаний от неуравновешенности на границах области неустойчивости, а также колебания внутри этой области. При этом оказывается, что вынужденные и параметрические колебания становятся связанными.

Ниже приведены результаты для случая, когда в системе действуют изотропные нелинейные силы Демпфирования, пропорциональные квадрату амплитуды перемещений диска ротора с коэффициентом х. Перемещения в подвижных координатах определяются из нелинейной системы (без учета веса).

На рис. 19 показаны амплитудные кривые (1 — уравновешенный ротор; 2 — неуравновешенный ротор; 3,4 — линейные и нелинейные колебания изотропного ротора) для результирующего перемещения при фиксированных значениях параметров где некоторая характерная для ротора величина, имеющая размерность длины. На том же рисунке показана амплитудная кривая для изотропного ротора, имеющего собственную частоту, равную «усредненной» собственной частоте анизотропного ротора. Указанное выше значение параметра определяет уровень нелинейных сил, которые в изотропной системе снижают амплитуды вынужденных колебаний при резонансе примерно на 10% по сравнению с соответствующей линейной системой. Из рис. 19 следует, что при отсутствии неуравновешенности в диапазоне неустойчивости будут существовать только параметрические колебания, интенсивность которых определяется в основном параметрами Для неуравновешенного ротора на границе устойчивости амплитуды будут ограничены, а в диапазоне неустойчивости будут существовать совместные вынужденные и параметрические колебания с общей частотой Неустойчивая ветвь решения показана штриховой линией. Из рис 19 наглядно видно, что для анизотропного ротора уровень колебаний вблизи резонансов существенно более высокий, чем для изотропного ротора.

Решения системы (43), преобразованные к неподвижной системе координат при действии нагрузки, равной весу,

определяют движение по круговым траекториям в направлении вращения ротора с частотой Движение происходит вокруг центра, величина смещения которого от линии опор зависит от величины статической нагрузки, скорости вращения и сил демпфирования.

Рис. 19

Рис. 20

Для системы без демпфирования в решении (50) величины а величины

Из выражений (51), видно, что амплитуда колебаний пропорциональна разности жесткостей ротора, и система имеет резонанс при скорости

называемой критической скоростью зторого рода. При малой анизотропии эта скорость близка к половине усредненной собственной частоты, т. е.

На рис. 20 построены амплитудные характеристики перемещений Для ротора с анизотропией при нескольких значениях коэффициента демпфирования

Анизотропия ротора может быть также обусловлена анизотропией вращающегося вместе с ротором магнитного поля, что имеет место, например, в двухполюсных синхронных электрических машинах.

Для колебаний анизотропного ротора на изотропных упругодемпферных опорах (см. рис. 8) в основном сохраняются изложенные особенности. Однако дополнительно 33 счет массы опор вместо одной появляются две области неустойчивости, каждая из которых как бы охватывает соответствующую усредненную собственную частоту

ротора (рис. 21). Низшая область неустойчивости соответствует колебаниям, при которых ротор и опоры движутся в фазе, высшая — в противофазе. Демпфирование в опорах сужает области неустойчивости, особенно высшую.

Ротор с распределенными параметрами. Уравнения движения в подвижной системе координат для неуравновешенного ротора с горизонтальной осью (без учета деформаций сдвига и гироскопического эффекта) имеют вид

В случае, когда ориентация главных направлений жесткостей не изменяется по длине ротора и граничные условия одинаковы для главных направлений, решение системы (53) можно представить разложением по формам собственных колебаний соответствующей консервативной задачи,

Величины находятся из системы уравнений

где

здесь — собственные частоты ротора как стержня в двух главных направлениях.

Рис. 21

Система (55) аналогична системе (43), вследствие чего колебания системы с распределенными параметрами по каждой форме будут во многом аналогичны колебаниям системы с одним диском. Так, при скоростях вращения, лежащих в диапазонах возможна потеря устойчивости. В диапазонах неустойчивости имеют место максимумы вибраций от неуравновешенности, и эти диапазоны определяют группы соответствующих критических скоростей. Весовая нагрузка, а также любая другая нагрузка неизменного направления, приводит к колебаниям с частотой с максимумами при критических скоростях второго рода, равных при малой анизотропии половине усредненных критических скоростей от неуравновешенности. Интенсивность этих колебаний зависит также от величины зависящей, в свою очередь, от формы колебаний. В частности, для симметричного ротора на двух опорах для четных величина и эти формы

колебаний с соответствующими критическими скоростями второго рода будут отсутствотать или проявляться очень слабо.

Ротор с диском, имеющим неодинаковые экваториальные моменты инерции. Идеально уравновешенный диск может совершать только угловые перемещения вследствие деформации изотропной упругой мембраны с коэффициентом жесткости 5 (см. рис. 5). Моменты инерции диска относительно осей (ось — ось вращения) соответственно равны причем для рассматриваемой задачи важно, что

Уравнения для угловых перемещений ротора в подвижных координатах [61 имеет вид

Использование критерия Рауса-Гурвица приводит к условию устойчивости

из которого непосредственно следует, что для изотропного ротора движение всегда устойчиво.

Условие (57) позволяет выделить три характерных соотношения между моментами инерции диска

1) , т. е. вращение происходит вокруг оси, момент инерции относительно которой максимален. Движение в этом случае всегда будет устойчивым;

2) т. е. вращение происходит вокруг оси, момент инерции относительно которой имеет промежуточное значение. В этом случае до скорости, определяемой из условия движение будет устойчивым, а при больших скоростях — неустойчивым;

3) , т. е. вращение происходит вокруг оси, момент инерции относительно которой минимален. В этом случае в соответствий с условием (57) сущестствует диапазон неустойчивых скоростей вращения, ширина которого зависит от анизотропии диска.

В частном случае ротора без опор, когда , условие устойчивости имеет вид

т. е. для устойчивости необходимо, чтобы вращение происходило вокруг оси, момент инерции относительно которой или минимален или максимален, что совпадает с известным результатом для свободного вращения твердого тела вокруг неподвижной точки [10].

Неподвижная и подвижная анизотропия. В общем случае как опоры, так и ротор могут обладать анизотропными свойствами, что приводит, с одной стороны, к существенному усложнению математических выкладок задачи из-за того, что в уравнениях движения всегда присутствуют периодические коэффициенты, а, с другой стороны, приводит к более сложному характеру возникающих колебаний из-за проявления особенностей, вызываемых по отдельности как анизотропией опор и ротора, так и совместным действием этих факторов [53, 61, 67]. Анализ показал, что для таких систем, в случаях, когда анизотропия ротора и опор не очень велика, можно ограничиться отысканием лишь основной области параметрических колебаний; при расчете вынужденных колебаний от неуравновешенности можно ограничиться первой гармоникой, а вынужденных колебаний от весовой нагрузки — нулевой и второй гармоникой от частоты вращения.