3. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Спектр собственных частот и форм колебаний конструкции ЛА определяются расчетом и экспериментом. Результаты определения собственных частот и форм колебаний служат основой для анализа динамических свойств ЛА. Как правило, исходят из предположения о наличии продольной плоскости симметрии ЛА, и поэтому колебания разделяют на два независимых спектра: симметричные и антисимметричные. Различным тонам свободных колебаний всего ЛА в зависимости от вида их форм присваиваются названия, которые связаны со свободными колебаниями отдельных частей. Общее число обследуемых тонов свободных колебаний современного тяжелого самолета достигает нескольких десятков в диапазоне частот от долей до нескольких десятков Гц. Собственные частоты и формы колебаний определяются экспериментально путем проведения специальных частотных (вибрационных) испытаний.

Методы расчета основаны на применении ЦВМ. Ниже приведено лишь описание основных идей, заложенных в расчетных методах, получивших наибольшее распространение [8, 9, 12, 13].

Численное интегрирование дифференциальных уравнений свободных колебаний. Дифференциальные уравнения колебаний совместных изгибно-крутильных колебаний консольного прямого крыла имеют вид [10]

где частота свободных колебаний; координата по оси жесткости (начало координат в заделке); прогибы и углы закручивания относительно оси жесткости (амплитудные значения; вверх, на кабрирование); жесткости на изгиб и кручение; погонные масса и момент инерции сечения относительно оси жесткости; — расстояние от оси жесткости до центра масс сечения.

Интегральная форма уравнений с учетом граничных условий

Решение этих уравнений находят методом итерации. Полагая и задаваясь исходными приближениями для проводят численное интегрирование. Процесс повторяют, пока отношение сходственных величин в двух последовательных приближениях не совпадает Это отношение равно квадрату основной частоты. Функции последнего приближения принимают в качестве собственных форм колебаний. При вычислении форм высших колебаний искомая форма ортогонализируется на каждом шаге приближений ко всем низшим формам.

Метод сосредоточенных масс. Масса ЛА предполагается заданной системой грузов, размещенных в узлах конструкции, в которых определяются перемещения (угловые и линейные), образующие вектор [12, 13]. Для этих же точек на основе известных методов строительной механики определяется матрица жесткости которая связывает любой вектор сил, приложенных в заданных точках с перемещениями

где квадратная, симметричная особенная матрица, ее дефект равен числу степеней свободы абсолютно жесткого тела («нулевые» частоты). Для свободных колебаний компоненты вектора -силы инерции

для гармонических колебаний

где амплитудные значения; со — собственная частота; С — матрица масс (инерционных коэффициентов).

Из (5) и (7) следует уравнение свободных колебаний

которое преобразуется к следующему:

где

собственные значения матрицы А (неособенной); некоторое произвольное число.

Очевидно, что собственные числа определяют спектр собственных частот Соответствующие этим собственные векторы образуют собственные формы колебаний, соответствует ближайшей к заданному числу .

Метод обобщенных координат применяют, когда для сложной динамической схемы представляет интерес относительно небольшое число тонов колебаний. Особое значение приобретает метод обобщенных координат для расчета колебаний в потоке, когда к инерционным и упругим силам добавляются силы аэродинамического давления, усложняющие анализ колебаний. В основе метода обобщенных координат лежит допущение о том, что несколько низших тонов колебаний системы с

распределенными параметрами (с бесконечно большим числом степеней свободы) или системы с конечным большим числом степеней свободы могут быть описаны с практической точностью системой уравнений невысокого порядка. Распределение смещений в колебательной системе, характеризуемое функцией вектор-функцией) декартовых координат вдоль линин или на поверхности, можно представить в виде 15, 6]

где обобщенная координата; обобщенная координатная функция, удовлетворяющая граничным условиям колебательной системы.

Для конечномерной системы или если функция задана в определенных точках, справедливо аналогичное (11) матричное выражение

где вектор смещений в точках; вектор обобщенных координат матрица, столбцы которой — координатные векторы, ее размер

Используя (11), записывают выражения для кинетической и потенциальной энергий колебательной системы. Обобщенные массы и жесткости — элементы соответствующих матриц определяют по формулам

Для конечномерной системы матрицы обобщенных масс и жесткостей определяются по исходным матрицам

Если в качестве координатных функций выбрать собственные формы колебаний, то матрицы становятся диагональными.

В качестве координатных функций можно выбрать полиномы по декартовым координатам. Этот подход удобен для анализа колебаний частей ЛА малого удлинения. Конструкция крыла (оперения) при этом схематизируется в виде системы балок (лонжероны, нервюры) и трапециевидных панелей (обшивка). Деформация характеризуется смещением срединной поверхности некоторой эквивалентной пластины. Принимаем гипотезу прямых нормалей. В разложении (11) координатные функции принимаем в виде

где набор показателей (удовлетворяющих граннчныч условиям). На практике принято

Матрица жесткости (13) конструкции образуется сложением матриц жесткости балок и панелей: Для панелей

где - строительная высота профиля крыла (опереиия); - толщина обшивки; — коэффициент Пуассона.

Для каждой балки

где — изгибиая жесткость (задана полиномом); координата вдоль балки,

Элементы матрицы инерции С для панелей

для балок

Переход от обобщенных координат к смещениям (вектор точках выполняется преобразованием (12) с заданными координатами Элементы матрицы

Вектор обобщенных сил

Элементы матрицы содержат координаты точек приложения сил, образующих вектор т. е.