2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ

Ротор с одним диском. Диск с массой и центром инерции, расположенным в точке (рис. 1), соединяется с невесомым прямолинейным валом в точке О, определяющей центр жесткости вала. Используются две связанные с ротором системы правовинтовых прямоугольных координат. Одна система имеет начало в точке О, ось этой системы направлена по оси вращения ротора, а направления двух других осей 1] и совпадают с направлением главных центральных осей жесткости вала в месте посадки диска. Вторая система имеет начало в точке 0°, и направления осей этой системы совпадают с направлениями главных центральных осей инерции диска. Моменты инерции диска относительно этих осей соответственно равны -Положение осей инерции по отношению к осям жесткости определяется линейными величинами и угловыми величинами которые характеризуют параметры несовершенств ротора типа неуравновешенности.

У неподвижной системы координат (рис. 2) ось х проходит через центры опор вала ротора. Вращение ротора характеризуется углом

Рис. 1

Рис. 2

Перемещения осей в направлениях определяются величинами а повороты вокруг этих осей — величинами Для осей линейные и угловые перемещения определяются величинами и При малых значениях

параметров несовершенств ротора, его линейных и угловых перемещений связь между перемещениями осей имеет вид

Для ротора с одним диском уравнения движения в проекциях на неподвижные оси имеют вид

где проекции приложенных к диску внешних сил; проекции вектора момента количеств движения диска и вектора момента внешних нагрузок относительно осей, проходящих через центр инерции 0° и параллельных осям

В большинстве случаев для роторов, вращающихся вокруг оси х со скоростью скорости поворотов вокруг двух других осей существенно меньше Тогда для изотропного диска при малых углах проекции вектора момента количеств движения записываются в виде где вторые слагаемые характеризуют влияние так называемого гироскопического эффекта.

При анализе поперечных колебаний роторов движение вокруг оси х не рассматривается и принимается Не рассматривается также движение в направлении оси х, характеризующее продольные колебания роторов, как не имеющие большого значения из-за отсутствия значительных возмущающих сил в этом направлении. Указанные упрощения приводят к следующим уравнениям движения осей

и осей

Из анализа уравнений (4) следует, что параметры неуравновешенности играют роль внешней периодической нагрузки.

Для многих задач целесообразна запись уравнений движения в координатах вращающихся со скоростью вращения ротора формулы перехода

приводят к уравнениям движения для осей

Для изотропных систем, у которых все направления в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, являются главными для массовых, упругих и демпфирующих характеристик вала ротора и его опор, а нагрузки изотропными, траектории всех точек оси ротора будут круговыми. В этом случае при введении обозначений

уравнения (4) и (5) допускают «спрессовывание» в неподвижных и подвижных координатах:

Действующие на ротор нагрузки можно разделить на независящие и зависящие от движения ротора. К первой группе относятся постоянные по величине нагрузки неизменного направления (силы тяжести, неуравновешенные силы аэрогидродинамического или электромагнитного происхождения и т. п.), а также зависящие от времени нагрузки, среди которых важнейшими являются периодические нагрузки, обусловленные вращением ротора и периодически расположенными элементами ротора и статора. К нагрузкам, зависящим от параметров движения, относятся силы и моменты, которые возникают как реакция окружающей среды на перемещения ротора. Эти реакции зависят от величин перемещений и скоростей и при малых значениях последних будут их линейными функциями.

При поступательных перемещениях ротора, характеризуемых векторами смещения и и скорости и на ротор со стороны внешней среды действует сила

некоторые тензоры, имеющие в общем случае вид

здесь коэффициенты, зависящие от параметров ротора и внешней среды, причем в общем случае

Из действующих на ротор сил выделяют силы, родственные обычным упругим 8 Демпфирующим силам, для чего силы представляют в виде сумм, т. е.

первые слагаемые характеризуют обычные упругие силы С и силы демпфирования К, а вторые слагаемые характеризуют силы специального вида. Чтобы

получить выражения для компонент указанных групп сил, каждый из тензоров разлагают на симметричный и кососимметричный тензоры:

где составляющие тензоры

Тензоры определяют упругие и демпфирующие силы. Силы, определяемые тензором называют гироскопическими, а тензором В — псевдогироскопическими, или циркуляционными. Симметричные тензоры приводятся к главным осям, и для них могут быть определены главные жесткости и главные коэффициенты сил демпфирования:

В общем случае что характеризует анизотропные свойства действующих реактивных сил.

Аналогичными свойствами обладают и моментные реактивные нагрузки.

Ротор с распределенными параметрами. Для свободного от опор и внешних нагрузок ротора линия, проходящая через геометрические центры тяжести поперечных сечений, определяет его ось жесткости (ниже рассмотрены роторы только с прямолинейной осью жесткости). Линия, проходящая через центры тяжести масс, определяет его ось инерции. Неуравновешенность определяется как отклонение в каждом сечении осн инерции от оси жесткости и характеризуется в каждом сечении ротора параметрами

В изотропном роторе все оси инерции поперечных сечений являются главными. Ротор имеет переменные по длине изгибную жесткость распределенную погонную массу одинаковые относительно осей распределенные по длине экваториальный момент инерции и полярный относительно оси х момент инерции. При постугательных перемещениях сечений ротора в направлениях возникают распределенные силовые реактивные нагрузки с коэффициентами пропорциональности при соответствующих перемещениях и при соответствующих скоростях. Аналогично при угловых поворотах сечении относительно осей возникают распределенные моментные нагрузки с коэффициентами при угловых перемещениях и при угловых скоростях.

Распределенные по длине ротора силы внутреннего трения в материале (см. п. 5) характеризуются коэффициентом пропорциональности Ротор нагружен распределенной по длине векторной силовой нагрузкой с компонентами и моментной нагрузкой с компонентами

Деформированное состояние в каждом сечении характеризуется деформационными параметрами, включающими вектор перемещения с компонентами и вектор угла поворота с компонентами и силовыми параметрами — вектором поперечной силы с компонентами и вектором изгибающего момента с компонентами

Дифференциальные уравнения движения ротора (без учета поперечных сил, влияние которых на деформацию роторов в большинстве случаев невелико) имеют вид:

при поступательных перемещениях

при угловых перемещениях

К уравнениям (7) и (8) следует добавить зависимости

В уравнениях (7) и (8) верхний индекс как и выше, соответствует линейным и угловым перемещениям оси инерции ротора, причем перемещения точек оси инерции и оси жесткости связаны соотношениями (1).

В случае, когда не учитывают силы инерции при угловых перемещениях и реакция основания представлена лишь изотропными силами упругости и демпфирования, уравнения движения имеют вид

Приведенные дифференциальные уравнения в частных производных имеют восьмой порядок, поэтому при их решении необходимо задать восемь граничных условий. Если относить к внутренним участкам имеющиеся на концах ротора сосредоточенные массы, жесткости и демпферы, то граничные условия можно привести к однородному виду. В случае свободного конца граничные условия имеют вид При неограниченно большой жесткости (или демпфировании) для поступательных и угловых перемещений граничные условия будут Возможны также граничные условия, состоящие из комбинаций указанных условий.