4.9. Обзор методов расчета аналоговых фильтров нижних частот

Значительная часть теории расчета цифровых БИХ-фильтров требует понимания методов расчета фильтров непрерывного времени. Поэтому в данном разделе будут приведены расчетные формулы для нескольких стандартных типов аналоговых фильтров, включая фильтры Баттерворта, Бесселя, Чебышева типа I и II и Кауэра (называемые также эллиптическими фильтрами). Подробный анализ достоинств и недостатков способов аппроксимации заданных характеристик, соответствующих этим фильтрам, можно найти в ряде работ, посвященных методам расчета аналоговых фильтров, поэтому ниже будут лишь кратко перечислены основные свойства фильтров каждого типа и приведены расчетные соотношения, необходимые для получения коэффициентов аналоговых фильтров.

Пусть нужно рассчитать нормированный фильтр нижних частот с частотой среза, равной рад/с. В качестве аппроксимируемой функции будет, как правило, использоваться квадрат амплитудной характеристики (исключением является фильтр Бесселя). Будем считать, что передаточная функция аналогового фильтра является рациональной функцией переменной  следующего вида:

.                              (4.68)

1. Фильтры Баттерворта

Фильтры Баттерворта нижних частот характеризуются тем, что имеют максимально гладкую амплитудную характеристику в начале координат в -плоскости. Это означает, что все существующие производные от амплитудной характеристики в начале координат равны нулю. Квадрат амплитудной характеристики нормированного (т. е. имеющего частоту среза 1 рад/с) фильтра Баттерворта равен

,                                                 (4.69)

где  — порядок фильтра. Аналитически продолжая функцию (4.69) на всю -плоскость, получим

.                  (4.70)

Все полюсы (4.70) находятся на единичной окружности на одинаковом расстоянии друг от друга в -плоскости. Выразим передаточную функцию  через полюсы, располагающиеся в левой полуплоскости :

,                            (4.71)

где

,   ,   (4.72)

a  — константа нормирования. Используя формулы (4.69) и (4.72), можно сформулировать несколько свойств фильтров Баттерворта нижних частот:

1. Фильтры Баттерворта имеют только полюсы (все нули передаточных функций этих фильтров расположены на бесконечности).

2. На частоте рад/с коэффициент передачи фильтров Баттерворта равен  (т. е. на частоте среза их амплитудная характеристика спадает на 3 дБ).

3. Порядок фильтра  полностью определяет весь фильтр.

На практике порядок фильтра Баттерворта обычно рассчитывают из условия обеспечения определенного ослабления на некоторой заданной частоте . Порядок фильтра, обеспечивающий на частоте  уровень амплитудной характеристики, равный , можно найти из соотношения

.                                                     (4.73)

Фиг. 4.15. Расположение полюсов аналогового фильтра Баттерворта нижних

Фиг. 4.16. Амплитудная и фазовая характеристики, а также характеристика групповой задержки аналогового фильтра Баттерворта нижних частот.

Пусть, например, требуется на частоте рад/с обеспечить ослабление, равное . Тогда

.

Округлив  в большую сторону до целого числа, найдем, что заданное ослабление обеспечит фильтр Баттерворта 7-го порядка.

Пример 1. Рассчитать фильтр Баттерворта с ослаблением не менее 66 дБ на частоте  рад/с и с ослаблением 3 дБ на частоте  рад/с.

Решение. Используя в качестве расчетных характеристик  (что соответствует ослаблению на 66 дБ) и , получим . Округление дает . На фиг. 4.15 показано расположение полюсов рассчитанного фильтра Баттерворта в s-плоскости. Амплитудная (в логарифмическом масштабе) и фазовая характеристики, а также характеристика групповой задержки этого фильтра представлены на фиг. 4.16.

2. Фильтры Бесселя

Фильтры Бесселя характеризуются максимально гладкой характеристикой групповой задержки в начале координат в s-плоскости. Переходная характеристика фильтров Бесселя имеет весьма малый выброс (обычно менее 1%), причем и импульсная и амплитудная характеристики стремятся к гауссовой кривой по мере увеличения порядка фильтра. Можно показать, что при дискретизации непрерывных фильтров Бесселя методами, рассматриваемыми в данной главе, характерное для этих фильтров свойство максимальной гладкости характеристики групповой задержки, вообще говоря, не сохраняется. Подробно этот вопрос изложен в статье Тайрана.

Передаточная функция фильтров Бесселя записывается в виде

,                                    (4.74)

где  — функция Бесселя -го порядка, a  — константа нормирования, равная

.                                        (4.75)

Появление функций Бесселя в знаменателе (4.74) является результатом усечения при представлении функции единичной задержки  в виде цепной дроби. Функции Бесселя удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:

               (4.76)

с начальными условиями  и . Эти функции можно также представить в виде

,                                                                           (4.77)

где

                               (4.78)

Можно показать, что фильтры Бесселя имеют только полюсы, которые расположены на окружности с центром на действительной положительной полуоси -плоскости.

Фиг. 4.17. Амплитудная и фазовая характеристики, а также характеристика групповой задержки аналогового фильтра Бесселя нижних частот.

В отличие от фильтров Баттерворта частота среза фильтров Бесселя  зависит от их порядка, что затрудняет работу с ними. Частоту среза фильтра Бесселя -го порядка можно найти, анализируя поведение его амплитудной характеристики на высоких частотах. Из формул (4.75) и (4.78) получим

                                    (4.79)

Чтобы определить асимптотическую частоту среза, найдем такую частоту , на которой . Соотношение (4.79) дает

,                                                 (4.80)

откуда

                                                         (4.81)

Для нормирования  к величине 1 рад/с разделим все корни фильтра на . При этом задержка в фильтре вместо 1 становится равной , а уровень амплитудной характеристики на частоте 1 рад/с будет уменьшаться при увеличении порядка фильтра .

Обычно фильтры Бесселя рассчитывают, задавая порядок фильтра  и частоту среза и отыскивая корни по таблице.

На фиг. 4.17 в качестве примера приведены амплитудная (в логарифмическом масштабе) и фазовая характеристики, а также характеристика групповой задержки фильтра Бесселя нижних частот 10-го порядка. Асимптотическая частота среза этого фильтра равна  (т. е. 500 Гц).

3. Фильтры Чебышева

Отличительной чертой фильтров Чебышева является наименьшая величина максимальной ошибки аппроксимации в заданной полосе частот. В действительности ошибка аппроксимации представляется в заданной полосе равновеликими пульсациями, т. е. она флуктуирует между максимумами и минимумами равной величины. В зависимости от того, где минимизируется ошибка аппроксимации — в полосе пропускания или в полосе непропускания,— различают фильтры Чебышева типа I и II.

Фильтры Чебышева типа I имеют только полюсы и обеспечивают равновеликие пульсации амплитудной характеристики в полосе пропускания и монотонное изменение ослабления в полосе непропускания. Квадрат амплитудной характеристики фильтра Чебышева типа I -го порядка описывается выражением

,                       (4.82)

где  — полином Чебышева -го порядка, по определению равный

       (4.83)

а  — параметр, характеризующий пульсации в полосе пропускания.

Свойство оптимальности фильтров Чебышева типа I порядка  заключается в том, что не существует какого-либо другого фильтра -го порядка, содержащего только полюсы, который имел бы такие же или лучшие характеристики и в полосе пропускания, и в полосе непропускания. Другими словами, если какой-либо фильтр -го порядка, содержащий только полюсы, имеет в полосе пропускания лучшие характеристики по сравнению с фильтром Чебышева типа I порядка , то в полосе непропускания характеристики этого фильтра наверняка будут хуже, чем у фильтра Чебышева.

Фильтры Чебышева типа II (иногда их называют также обратными фильтрами Чебышева) обеспечивают монотонное изменение ослабления в полосе пропускания (максимально гладкое при ) и равновеликие пульсации в полосе непропускания. Нули фильтров этого типа располагаются на мнимой оси в -плоскости, а полюсы — в левой полуплоскости. Квадрат амплитудной характеристики фильтров Чебышева типа II порядка  можно представить следующим образом:

,            (4.81)

где  — наинизшая частота, на которой в полосе непропускания достигается заданный уровень ослабления.

На фиг. 4.18 показано поведение квадрата амплитудной характеристики для фильтров Чебышева типа I и II при четных и нечетных п. Во всех этих фильтрах граница полосы пропускания находится при , где , а граница полосы непропускания расположена при , где .

Фильтр Чебышева типа I имеет простые полюсы в точках , где  которые лежат в -плоскости на эллипсе, уравнение которого имеет вид

.                                  (4.85)

Здесь

,                                      

,                    (4.86)

,                                                

,                                               (4.87)

и

.                         (4.88)

Фиг. 4.18. Общий вид функции квадрата амплитудной характеристика аналоговых фильтров Чебышева нижних частот типа I и II. а — фильтр Чебышева типа I; б — фильтр Чебышева типа II.

Фильтры Чебышева типа II имеют и полюсы, и нули. Нули являются чисто мнимыми и находятся в точках

      (4.89)

(Отметим, что при нечетных  нуль с номером  находится на бесконечности.) Полюсы фильтров типа II можно найти, вычислив координаты особых точек знаменателя передаточной функции (4.84).

Простые преобразования дают для полюсов   следующие выражения:

                                        (4.90)

где

                   (4.91)

причем

                                                  (4.92)

                           (4.93)

Фильтры Чебышева типа I и II полностью определяются любыми тремя из следующих четырех параметров:

1)  (порядок фильтра);

2)  (параметр, характеризующий пульсации в полосе пропускания, см. фиг. 4.18);

3)  (наинизшая частота, на которой в полосе непропускания достигается заданное ослабление, см. фиг. 4.18);

4)  (параметр, характеризующий ослабление в полосе непропускания, см. фиг. 4.18).

Порядок фильтра Чебышева , необходимый для обеспечения заданных значений ,  и   определяется с помощью формулы

                                   (4.94)

где

                                         (4.95)

Пример 2. Рассчитать фильтр Чебышева минимального порядка, удовлетворяющий следующим условиям:

пульсации в полосе пропускания равны 2 дБ;

переходное отношение ;

ослабление в полосе непропускания 30 дБ.

Фиг. 4.19. Амплитудная и фазовая характеристики, а также характеристики групповой задержки аналогового фильтра Чебышева нижних частот типа I.

Решение. Используя фиг. 4.18, найдем параметры фильтра ,  и   по заданным характеристикам

     ,

,       ,

.

Затем по формуле (4.95) получим , а по формуле (4.94) вычислим значение .

Фиг. 4.20. Амплитудная и фазовая характеристики, а также характеристика групповой 8адержки аналогового фильтра Чебышева нижних частот типа II.

На фиг. 4.19 и 4.20 представлены основные характеристики (амплитудная в логарифмическом масштабе, фазовая и групповой задержки) фильтров Чебышева типа I и II, удовлетворяющие условиям, перечисленным в примере 2. Оба фильтра имеют частоту среза  рад/с (т. е. Гц). Из сопоставления фиг. 4.19 и 4.20 видно, что поведение характеристики групповой задержки в полосе пропускания для фильтра типа II вообще значительно лучше, чем для фильтра типа I. Это связано с тем, что нули фильтров Чебышева типа II располагаются в -плоскости на оси , тогда как все нули фильтров Чебышева типа I находятся на бесконечности.

4. Эллиптические фильтры

Эллиптические фильтры характеризуются тем, что их амплитудная характеристика имеет равновеликие пульсации и в полосе пропускания, и в полосе непропускания. Можно показать, что с точки зрения минимальной ширины переходной полосы эллиптические фильтры являются оптимальными, т. е. для заданных порядка фильтра и уровня пульсаций не существует других фильтров с более быстрым переходом от полосы пропускания к полосе непропускания. Квадрат амплитудной характеристики эллиптического фильтра нижних частот записывается в виде

,                 (4.96)

где  — рациональная функция Чебышева, a  — параметр, характеризующий пульсации функции . Проанализируем свойства эллиптических фильтров, используя фиг. 4.21, где представлена типичная функция . Видно, что в полосе пропускания  эта функция осциллирует между 0 и 1, а, начиная с частоты , она осциллирует между  и . При изменении параметра  величина  также будет меняться. Именно на этом свойстве рациональных функций Чебышева основана методика расчета фильтров с произвольным ослаблением и в полосе пропускания, и в полосе непропускания. Фактически можно выбрать любые три из четырех параметров фильтра (порядок, ослабление в полосе пропускания, ослабление в полосе непропускания и переходное отношение, или, что то же самое, частота среза ), и четвертый из них определяется однозначно.

Изучение свойств функции требует знания теории эллиптических функций Якоби, детальное изложение которой увело бы нас слишком далеко. Поэтому, отослав заинтересованного читателя к книге Даниэльса, ограничимся тем, что сначала представим расчетное соотношение, позволяющее найти порядок эллиптического фильтра, обеспечивающего заданные величины уровня пульсаций и переходного отношения, а после этого приведем в качестве примера характеристики типичного эллиптического фильтра.

Фиг. 4.21.Типичная рациональная функция Чебышева.

Фиг. 4.22. Общий вид квадрата амплитудной характеристики аналогового эллиптического фильтра нижних частот

На фиг. 4.22 показано поведение квадрата амплитудной характеристики типичных эллиптических фильтров при нечетном и четном значениях п. Там же представлены параметры пульсаций  и . Видно, что для эллиптических фильтров они определяются так же, как и для фильтров Чебышева. Переходное отношение  определяется следующим образом:

,                                                 (4.97)

где  — граничная частота полосы пропускания, a  — граничная частота полосы непропускания. Если ввести параметр  равный

,                                    (4.98)

то порядок эллиптического фильтра , удовлетворяющего заданным значениям , ,  и  можно рассчитать по формуле

,                  (4.99)

где  — полный эллиптический интеграл 1-го рода. В разд. 4.10 описана графическая методика нахождения порядка эллиптических фильтров Чебышева и Баттерворта, удовлетворяющих заданным характеристикам.

Амплитудная (в логарифмическом масштабе) и фазовая характеристики, а также характеристика групповой задержки эллиптического фильтра нижних частот представлены на фиг. 4.23.

Фиг. 4.23. Амплитудная и фазовая характеристики, а также характеристика групповой задержки аналогового эллиптического фильтра нижних частот.

Порядок фильтра , частота среза рад/с (Гц), переходное отношение , характеристики пульсаций  и .