4.12. Частотные преобразования

В предыдущих разделах рассматривались методы расчета фильтров нижних частот непрерывного времени, а также методы их дискретизации. При расчете цифровых фильтров верхних частот, полосовых и режекторных используются два подхода, представленные на фиг. 4.32. Различие между ними заключается в следующем. В первом случае нормализованный аналоговый фильтр предварительно преобразуется в другой аналоговый фильтр, из которого затем путем дискретизации рассчитывается цифровой фильтр с заданными характеристиками. Во втором случае нормированный фильтр нижних частот дискретизируется сразу же, а затем путем преобразования его полосы формируется цифровой фильтр с заданными характеристиками. Поскольку выше уже были описаны и методы расчета аналоговых нормированных фильтров нижних частот, и методы их дискретизации, в данном разделе будут рассмотрены различные методы преобразования полосы для аналоговых и цифровых фильтров.

Фиг. 4.32. Частотные преобразования фильтров нижних частот.

1. Преобразования полосы частот для аналоговых фильтров

Существует много различных методов преобразования фильтра нижних частот с частотой среза, равной 1 рад/с, в другой фильтр нижних частот (имеющий другую частоту среза), а также в фильтр верхних частот, полосовой или режекторный. Перечислим наиболее простые преобразования:

Здесь — нижняя частота среза, — верхняя частота среза.

Примеры преобразования нормированного эллиптического фильтра нижних частот в другой фильтр нижних частот, в фильтр верхних частот, полосовой и режекторный с использованием соотношений (4.115) — (4.118) показаны на фиг. 4.33. Все эти соотношения имеют весьма нелинейный характер, однако при преобразовании стандартных фильтров нижних частот рассмотренных выше типов (за исключением фильтров Бесселя) эти нелинейности не создают никаких трудностей, поскольку частотные характеристики преобразуемых фильтров в интересующей нас полосе частот аппроксимируются ступенчатой функцией. Так, нелинейность отображения приводит к изменению взаимного расположения максимумов и минимумов пульсаций характеристик эллиптических фильтров, но не влияет на амплитуду зтих пульсаций. Поэтому фильтры, рассчитанные методами преобразования полосы, сохраняют равновеликий характер пульсаций фильтра-прототипа.

2. Преобразования полосы для цифровых фильтров

По аналогии с фильтрами непрерывного времени существует несколько простых преобразований цифрового фильтра нижних частот (с частотой среза ) в другой фильтр нижних частот (с другой частотой среза ), а также в цифровой фильтр верхних частот, полосовой или режекторный. Ниже приведены формулы для этих преобразований:

(см. скан)

Фиг. 4.33. Преобразования полосы аналогового фильтра нижних частот.

Здесь

— заданная частота среза фильтра нижних частот.

Здесь

— заданная частота среза фильтра верхних частот.

(4.123)

Здесь

(4.125)

— центральная частота полосового фильтра.

Фильтр нижних фильтр. (4.126)

Здесь

(4.127)

(4.128)

— центральная частота режекторного фильтра.

Ясно, что преобразования (4.119) — (4.128) соответствуют всепропускающим фильтрам, так как единичная окружность отображается в такую же окружность один или несколько раз. Поэтому, хотя частотная шкала при отображении и деформируется, амплитудная характеристика исходного фильтра нижних частот сохраняется. По этой причине эллиптический фильтр нижних частот, например, преобразуется в другой эллиптический фильтр.

(см. скан)

Фиг. 4.34. Преобразования полосы цифрового фильтра нижних частот (по Константинидису)

Некоторые свойства рассматриваемых преобразований иллюстрируются на нескольких примерах, приведенных на фиг. 4.34. В качестве фильтра-прототипа был взят фильтр Чебышева нижних частот (с частотой среза ). Он был преобразован в другой фильтр нижних частот, фильтр верхних частот, а также в полосовой и режекторный фильтры. Прежде всего из приведенных кривых следует, что по существу каждый из новых фильтров образуется путем преобразования фильтра-прототипа нижних частот в другой соответствующий фильтр нижних частот с последующей простой заменой переменной на эту же переменную в первой или во второй степени (например, при переходе к фильтру верхних частот используется замена ). Кроме того, характер отображения можно понять, рассмотрев, в какие частоты отображаются при преобразовании критические частоты фильтра-прототипа нижних частот. Все эти преобразованные частоты сведены в табл. 4. 1.

Таблица 4.1. Значения частот при преобразованиях полос цифровых фильтров

Преобразования полосы для цифровых фильтров просто использовать, так как они отображают рациональную передаточную функцию в новую рациональную передаточную функцию. Эти преобразования не вносят искажений в амплитудную шкалу, поэтому они успешно конкурируют с методами преобразования полосы аналоговых фильтров-прототипов нижних частот. Действительно, было показано, что билинейное преобразование нормированного аналогового фильтра нижних частот с последующим всепропускающим преобразованием эквивалентно преобразованию полосы аналогового фильтра с последующим билинейным преобразованием. Оба эти подхода иллюстрируются на фиг. 4.35 на примере расчета фильтра нижних частот.

(см. скан)

Фиг. 4.35. Два метода расчета цифрового фильтра по характеристикам аналогового фильтра.

В первом случае (фиг. 4.35, а) билинейное преобразование аналогового нормированного фильтра нижних частот дает нормированный цифровой фильтр нижних частот (частота среза его полосы пропускания ), который затем преобразуется в другой цифровой фильтр нижних частот, удовлетворяющий заданным характеристикам. Во втором случае (фиг. 4. 35, б) нормированный аналоговый фильтр нижних частот сначала преобразуется в другой, ненормированный аналоговый фильтр нижних частот, а затем методом билинейного преобразования рассчитывается цифровой фильтр, удовлетворяющий заданным характеристикам. С расчетной точки зрения оба эти метода приблизительно равноценны.