13.3. Выбор сигналов и функция неопределенности

При выборе сигналов основным критерием является условие получения наилучших оценок дальности и скорости для одной или нескольких целей. Из простых физических соображений ясно, что короткий импульс обеспечивает хорошее разрешение по дальности, но плохое по скорости, а длинный импульс с постоянной частотой, наоборот, — плохое разрешение по дальности и хорошее по скорости. Поэтому можно ожидать, что выбор сигнала сведется к поиску компромисса между разрешением по дальности и разрешением по скорости. При объяснении справедливости этого предположения будет использована функция неопределенности, зависящая от двух аргументов — дальности и скорости. При выборе аналоговых сигналов, для которых предполагается выполнение согласованной фильтрации в аналоговой форме, функция неопределенности является основным понятием. В данной главе основное внимание будет уделено цифровым функциям неопределенности. В литературе можно найти достаточно подробное описание функций неопределенности, соответствующих аналоговой обработке, поэтому далее предполагается, что сигналы обрабатываются цифровыми методами.

Функция неопределенности вводится при анализе идеализированной математической модели радиолокационной системы, изображенной на фиг. 13.2. Предполагается, что зондирующий сигнал синтезируется в цифровом виде, но по пути к передатчику он проходит через аналоговый фильтр. В идеальном случае аналоговый эхо-сигнал является задержанной и сдвинутой по частоте копией излученного сигнала s (f). Предполагается, что оба эти эффекта, связанные с положением и движением цели, не искажаются при прохождении сигнала через аналоговый фильтр приемника и АЦП. Тогда на вход согласованного фильтра поступает цифровой сиг . Заметим, что он является функцией двух непрерывных параметров и (дальности и доплеровского сдвига).

Фиг. 13.2. Упрощенная блок-схема радиолокатора, поясняющая введение функции неопределенности.

Перейдем теперь к рассмотрению цифрового согласованного фильтра. Для увеличения дальности действия радиолокатора сигналы желательно удлинять. Но для сохранения разрешения по дальности необходимо, чтобы отклик, соответствующий данному элементу дальности, был ограничен во времени. Это явное противоречие разрешается выбором сигналов большой длительности с короткой автокорреляционной функцией, так чтобы отклик согласованного фильтра на принятый сигнал представлял собой весьма короткий импульс. Итак, цифровой фильтр, согласованный с эхо-сигналом, принятым с нулевой дальности и с нулевым доплеровским сдвигом, должен иметь импульсную характеристику вида . Сигнал на выходе цифрового согласованного фильтра, называемый цифровой функцией неопределенности, является в сущности функцией взаимной корреляции сигнала и импульсной характеристики согласованного фильтра, т. е. он равен

где — период дискретизации АЦП (фиг. 13.2). Если фильтр согласован с сигналом для некоторых ненулевых дальности и доплеровского сдвига, то просто сдвигается по обеим координатам, т. е. соотношение (13.7) является весьма общим.

Функция неопределенности [модуль ] позволила выявить основное ограничение при выборе радиолокационных сигналов, а именно невозможность создания сигналов, обеспечивающих хорошее разрешение на всей плоскости частота — дальность. Математически это ограничение, как будет показано, выражается тем, что объем под квадратом модуля функции неопределенности не зависит от формы сигнала. Поэтому понижение в какой-то области плоскости приводит к повышению ее в другой области. Для доказательства обратимся к формуле (13.7) и вычислим

где - частота дискретизации .

Подставляя (13.7) в (13.8) и интегрируя сначала по , получим

Заметим, что

(13.10)

является автокорреляционной функцией сигнала. Тогда

Поскольку , то

Следовательно, двойную сумму (13.11) можно заменить обычной:

Отсюда видно, что V (объем под функцией неопределенности) зависит не от формы сигнала, а только от его энергии. Таким образом, любое уменьшение функции неопределенности должно привести к увеличению ее в каком-либо другом месте в плоскости (энергия сигнала считается постоянной).

1. Функции неопределенности ЛЧМ-сигналов и монохроматических радиоимпульсов

Сигнал с внутриимпульсной ЛЧМ обладает некоторыми полезными свойствами как длинных, так и коротких радиоимпульсов с постоянной частотой. Методически удобнее сначала найти функцию неопределенности для ЛЧМ-сигнала, а затем для монохроматического радиоимпульса как частного случая.

На практике важны сигналы конечной длительности (и фильтры с ограниченными во времени импульсными характеристиками). Это означает, что нужно ввести некоторое ограничение на пределы суммирования в (13.7), которое в явном виде учитывало бы степень перекрытия между .

Примем, что длительность сигнала Т в точности равна МТД, где М — число отсчетов в импульсной характеристике согласованного фильтра (фиг. 13.3). При сигнал полностью перекрывается с импульсной характеристикой. При они взаимно смещены на один отсчет. Пусть — округленное до большего целого числа значение отношения , т. е. при при и т. д.

Фиг. 13.3. Синхронизация работы цифрового согласованного фильтра с отсчетами сигнала.

Из фиг. 13.3 видно, что при отрицательных равенство (13.7) принимает вид

а при положительных

(13.15)

Если — экспонента, то (13.14) можно преобразовать в (13.15) простой заменой переменных , причем появление в аргументах трех функций, стоящих в сумме (13.14), проявится лишь в виде общего фазового множителя, который можно отбросить при вычислении модуля суммы. Итак, для любых вычислений можно использовать соотношение (13.15), а действительно является функцией модуля .

Теперь можно перейти к вычислению (13.15) для частного случая ЛЧМ-сигнала, равного

(13.16)

где W — девиация частоты ЛЧМ-сигнала, а Т — его длительность. Заменим параметр W на так что N равно произведению ширины спектра сигнала на его длительность. Если соответствует частоте дискретизации по Найквисту (т. е. ), то . В приводимых ниже выкладках N и М считаются независимыми переменными, поэтому результат будет справедлив для любой частоты дискретизации. Отбрасывая фазовые множители в (13.15) и (13.16), получим

Для нормировки переменных и введем

(13.18)

и после ряда преобразований получим

Соотношение (13.19) является основным выражением для функции неопределенности ЛЧМ-сигнала. Интересно рассмотреть ее сечения при. При

(13.20)

Если же , то

Важно отметить, что сечения (13.20) и (13.21) имеют (при достаточно больших целых М) вид коротких острых импульсов примерно одинаковой длины. Множитель приводит к понижению частоты пульсаций боковых лепестков при больших дальностях. Поскольку в двух аргументах соотношения (13.19) фигурирует только величина разделить вклады дальности цели и ее скорости невозможно. Для иллюстрации этого положения на фиг. 13.4 изображены два сечения функции неопреденности по дальности при различных доплеровских сдвигах.

Фиг. 13.4. Функция неопределенности ЛЧМ-сигнала.

Если с помощью ЛЧМ-сигнала ведутся наблюдения за двумя целями, находящимися на одной дальности, но движущимися с разными скоростями, то эхо-сигналы можно также интерпретировать как сигналы, отраженные от целей, смещенных по дальности.

ЛЧМ-сигналы могут иметь большую длительность и, следовательно, большую энергию, что увеличивает предельную дальность действия радиолокатора. Кроме того, отклик на выходе согласованного фильтра всегда представляет собой короткий импульс, и это обеспечивает высокое разрешение по дальности. В этом смысле можно считать, что ЛЧМ-сигналы являются «хорошими». Не следует, однако, забывать, что неразличимость эффектов, вызванных доплеровским сдвигом и смещением по дальности, не позволяет разделить измерения дальности и скорости, т. е. ЛЧМ-сигналы малопригодны для измерения скорости. К счастью, во многих практических задачах смещение оценки дальности, вызываемое доплеровским сдвигом, имеет весьма малую величину, поэтому ЛЧМ-сигналы все-таки можно использовать для измерения дальности до цели.

На прямой в плоскости равенство (13.19) сводится к

(13.22)

Таким образом, функцию неопределенности в трехмерном пространстве можно представить в виде «хребта», простирающегося вдоль прямой и имеющего в продольном сечении форму треугольника. В силу ступенчатого характера функции высота «хребта» на самом деле изменяется скачками.

Фиг. 13.5. Главный лепесток функции неопределенности ЛЧМ-сигнала: а — частота дискретизации равна частоте Найквиста; б — частота дискретизации равна половине частоты Найквиста.

На фиг. 13.5, а в соответствии с формулой (13.19) заштрихованы области, в которых заметно отличается от нуля; считается, что или , т. е. частота дискретизации равна частоте Найквиста. При понижении частоты дискретизации вдвое (т. е. ) появляются дополнительные «ненулевые» области (фиг. 13.5, б), обусловленные наложением. Сравнивая (13.7) с известной формулой для функции неопределенности аналоговых сигналов

(13.23)

можно получить соотношение, связывающее . Из гл. 2 известно, что фурье-преобразования аналогового и дискретизованного сигналов связаны следующим образом:

и

так что

(13.24)

Анализ формул (13.7) и (13.23) показывает, что (13.23) представляет собой преобразование Фурье от произведения , а (13.7) — преобразование Фурье от того же дискретизованного произведения. Поэтому

(13.25)

Учитывая эффекты наложения, приходим к выводу, что функция неопределенности цифрового сигнала периодична по частоте, но не по времени. На фиг. 13.6 изображены сечения для полученные с помощью программы, моделирующей прохождение сигнала через согласованный фильтр. Отметим низкий уровень боковых лепестков на фиг. 13.6, а, на фиг. 13.6, б они приближаются к известной цифре —13 дБ, характерной для невзвешенного аналогового ЛЧМ-сигнала. Это связано с особенностью графопостроителя, отображающего отсчеты с интервалом секунд. Нафиг. 13.6, а они оказались вблизи нулей (аналоговой) функции неопределенности , а на фиг. 13.6, б точки отсчета сдвинуты на половину интервала дискретизации и близки к максимумам боковых лепестков.

Фиг. 13 6. Функция неопределенности ЛЧМ-сигиала при нулевом доплеровском сдвиге.

2. Функция неопределенности монохроматического радиоимпульса

Если в формуле (13.19) положить W = 0, так что N = 0, то ЛЧМ-сигнал вырождается в монохроматический радиоимпульс, для которого

(13.26)

Рассмотрим несколько сечений функции неопределенности вдоль оси v при постоянных у (фиг. 13.7). Отметим, что с увеличением задержки главный лепесток не только уменьшается по уровню, но и расширяется, т. е. разрешение по скорости ухудшается. Если сделать сечения по при постоянных v, то будут получены неутешительные результаты. При v = 0 сечение имеет треугольную форму, а при других v оно имеет синусоидальную форму, причем максимумы располагаются довольно хаотично.

Фиг. 13.7. Сечения функции неопределенности монохроматического радиоимпульса.

3. Функция неопределенности пачки импульсов

Хотя ЛЧМ-сигнал легко обнаруживается в шумах, остается неясным, как с его помощью измерять скорость цели. Он широко используется для увеличения дальности действия радиолокатора, но для точных измерений скорости требуется использование других сигналов.

В разд. 13.2 уже говорилось о том, что увеличение области однозначного измерения дальности достигается за счет уменьшения частоты повторения, тогда как для расширения области однозначного измерения скорости частоту повторения следует повышать. В любом случае приходится излучать последовательность импульсов, для которой мы найдем и проанализируем функцию неопределенности. Поскольку пачка представляет собой импульсную последовательность, то и аналоговая, и цифровая функции неопределенности имеют одинаковую структуру, так что дискретизация для этого сигнала не играет роли. Например, функция неопределенности пачки из 10 равностоящих импульсов (фиг. 13.8) напоминает хорошо известную «борону». Параметр Д равен периоду следования импульсов. Рассматриваемая функция неопределенности имеет пики неоднозначности и по дальности, и по скорости. Величина периодов по и по определяется только значением , причем увеличение расширяет интервал однозначного определения дальности, но сужает интервал однозначного измерения скорости, и наоборот. Таким образом, пачку импульсов наиболее целесообразно применять при измерении дальности и скорости, если уже имеется грубая, но достоверная оценка одной (или обеих) из этих величин.

Фиг. 13.8. Сечение функции неопределенности пачки импульсов.

Упражнение. Найдите в общем виде выражение для функции неопределенности пачки импульсов и подтвердите данные фиг. 13.8.

4. Другие сигналы

В некоторых случаях при радиолокационных исследованиях необходимо определять и дальность, и скорость. Для этого сигнал должен иметь «кнопочную» функцию неопределенности с одним большим пиком, сосредоточенным на небольшом участке плоскости дальность — скорость. Разработано много сигналов с такой функцией неопределенности, например ЛЧМ-сигналы с треугольным изменением частоты, сигналы с модуляцией кодами Баркера и многофазными кодами, а также кодовыми последовательностями максимальной длины. Анализ таких сигналов можно найти в соответствующих монографиях, и повторять его здесь нецелесообразно.

Читатель, вероятно, заметил сходство (по крайней мере в общем подходе) между синтезом фильтров и синтезом сигналов с заданными функциями неопределенности. Существует несколько причин, затрудняющих формализацию процедуры синтеза сигналов. Во-первых, приходится аппроксимировать двумерную идеализированную функцию, что значительно сложнее задачи одномерной аппроксимации импульсной или частотной характеристик при синтезе фильтров. Во-вторых, на выбор радиолокационных сигналов существенно влияют многочисленные параметры радиолокатора, определяемые характеристиками антенны, передатчика, системы управления, которые, возможно, не связаны непосредственно с системой обработки сигналов. Третья и, вероятно, главная причина состоит в том, что помеховая обстановка зачастую с трудом поддается математическому описанию, тогда как «правильная» функция неопределенности зависит от свойств помех. Это означает, что оптимизация радиолокатора может быть достигнута лишь после многочисленных его испытаний в реальных условиях, поэтому следует максимально использовать гибкость, присущую цифровым методам обработки сигналов.