7.5. Двумерные разностные уравнения

Как и в одномерном случае, двумерный ЛПП-фильтр обычно можно описать линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, которое связывает входную и выходную последовательности. Для физически реализуемого фильтра такое разностное уравнение в самом общем случае имеет вид

причем набор постоянных коэффициентов определяет конкретный фильтр. Для полного описания фильтра необходимо задать также набор начальных условий. Уравнение (7.19) можно записать в виде рекуррентного соотношения. Для этого текущий выходной отсчет следует выразить через предшествующие выходные и входные отсчеты и текущий входной отсчет.

Такое рекуррентное соотношение (при ) имеет вид

В качестве примера рассмотрим фильтр, описываемый разностным уравнением

с начальными условиями

Если на вход фильтра поступает единичный импульс, то выходная последовательность будет равна

Результат (7.23) легко проверить, проведя непосредственные вычисления у при нескольких значениях с помощью формул (7.21) и (7.22):

Методы решения двумерных разностных уравнений относительно обеих переменных аналогичны методам решения одномерных уравнений и рассматриваться не будут.