3.34. Соотношения между параметрами оптимального фильтра нижних частот

Аналитического решения задачи расчета оптимального фильтра, за исключением частного случая чебышевского решения, не существует. Как видно из приведенных выше графиков, ширина переходной полосы фильтра в случае чебышевского решения обычно оказывается значительно меньше, чем для других оптимальных фильтров с такими же значениями , но при других  и . На основе экспериментальных данных по очень большому числу оптимальных фильтров была получена совокупность приближенных расчетных соотношений, связывающих параметры проектируемых фильтров. С помощью этих формул разработчик может выбрать любые четыре из пяти параметров , а затем оценить недостающий пятый параметр. При проектировании фильтра разработчик должен перебирать значения незаданного параметра до тех пор, пока не будут удовлетворены (возможно, с запасом) требования ко всем другим параметрам.

В систему расчетных соотношений входит прежде всего найденное выше выражение для величины :

                             (3.141)

Кроме того, используются следующие эмпирические соотношения:

,       (3.142)

где

а также

,                                (3.143)

где

и, наконец,

.                     (3.144)

Чтобы понять, как правильно использовать эти расчетные соотношения, рассмотрим случай, когда заданы , а разработчику предстоит найти подходящее значение . Из соотношений (3.141), (3.142) и (3.144) находим , оценку :

.                                     (3.145)

Полученное начальное значение  вместе с заданными значениями образует исходный набор оценок расчетных параметров фильтра. В зависимости от того, окажутся ли действительные значения  (полученные в результате расчета фильтра) слишком большими или слишком малыми, величина  соответственно увеличивается либо уменьшается до тех пор, пока не будут обеспечены или даже превышены значения всех других параметров.

В случае когда первоначально не задаются либо , либо , следует воспользоваться расчетным соотношением для оценки  (а следовательно, и для оценки либо , либо ):

      (3.146)

Далее незаданный параметр варьируется от первоначального значения до тех пор, пока не будут получены подходящие значения всех параметров.

Когда незаданным параметром является , его оценку можно найти по формуле

                             (3.147)

где

В этом случае начальное значение  дает возможность разработчику оценить значение  которое затем варьируется до тех пор, пока величина  не окажется в заданных пределах.

Наконец, если незаданным параметром является  его оценку можно найти по формуле

                   (3.148)

где

В этом случае начальное значение  позволяет найти оценку величины , которая затем варьируется до тех пор, пока  не окажется в заданных пределах.

Проверка на большом числе спроектированных фильтров показала, что приведенные расчетные соотношения дают достаточно хорошие оценки незаданных параметров.