4.6. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики

Второй метод дискретизации аналоговых фильтров называется методом инвариантного преобразования импульсной характеристики. Отличительной особенностью этого метода является то, что в качестве импульсной характеристики рассчитываемого цифрового фильтра используется дискретизованная импульсная характеристика соответствующего аналогового фильтра. В результате частотная характеристика цифрового фильтра образуется путем наложений частотной характеристики дискретизованного аналогового фильтра.

Для того чтобы продемонстрировать метод дискретизации аналогового фильтра с использованием инвариантного преобразования его импульсной характеристики, разложим передаточную функцию этого фильтра (4.19) на простые дроби:

,                                                                          (4.44)

где

,                                             (4.45)

причем каждый коэффициент  определяет положение -гo полюса. При записи разложения (4.44) предполагалось, что порядок числителя  меньше порядка знаменателя  и что все полюсы  простые. Предположение о том, что , обязательно должно выполняться для дискретизуемого фильтра, поскольку в противном случае наложения в частотной характеристике цифрового фильтра станут недопустимыми. Если же не все полюсы  простые, то результаты, которые будут получены в настоящем разделе, следует несколько модифицировать.

Импульсная характеристика  аналогового фильтра с передаточной функцией вида (4.44) описывается соотношением

.                                                                                  (4.46)

Дискретизуя ее, получим импульсную характеристику цифрового фильтра

                          (4.47)

где  — период дискретизации. Найдем ее z-преобразование

      (4.48)

Изменив порядок суммирования и просуммировав по , получим

                      (4.49)

Сравним формулы (4.49) и (4.44). Видно, что для простых полюсов переход от  к  осуществляется с помощью отображения, при котором используется замена

.                                               (4.50)

Если полюсы  комплексные, то остатки  в (4.44) также будут комплексными. Функция  действительная, поэтому должны существовать также комплексно сопряженные полюс  и остаток . Просуммируем эти комплексно сопряженные члены в (4.44):

.                  (4.51)

Положив  и , получим

.                   (4.52)

Использование отображающей замены (4.50) применительно к каждому слагаемому в формуле (4.51) дает

  (4.53)

              .                        (4.54)

Из формул (4.52) и (4.54) получаем

         (4.55)

(индекс  здесь опущен, а числители поделены на ).

Приведем два полезных частных случая этой отображающей замены, соответствующих аналоговым фильтрам с импульсными характеристиками  и :

,      (4.56)

 .     (4.57)

Выше было отмечено, что частотная характеристика цифрового фильтра, рассчитываемого методом инвариантного преобразования импульсной характеристики, образуется путем наложений частотной характеристики дискретизуемого аналогового фильтра. Таким образом, можно записать

,                                                (4.58)

где  — угловая частота дискретизации цифрового фильтра.

Фиг. 4.7. Отображение из s-плоскости в г-плоскость для метода инвариантного преобразования импульсной характеристики.

На фиг. 4.7 показало соответствующее инвариантному преобразованию импульсной характеристики отображение из s-плоскости в z-плоскость. Каждая горизонтальная полоса шириной  из -плоскости отображается па z-плоскость. Поэтому все смежные полосы из s-плоскости будут при отображении накладываться друг па друга в z-плоскости. Отсюда следует, что для того, чтобы частотные характеристики исходного аналогового фильтра и рассчитываемого методом инвариантного преобразования импульсной характеристики цифрового фильтра соответствовали друг другу, необходимо, чтобы полоса пропускания аналогового фильтра находилась в пределах диапазона . Для выполнения этого условия необходимо до начала преобразования вводить дополнительный фильтр нижних частот, гарантирующий соответствующее ограничение полосы пропускания аналогового фильтра.

Пример инвариантного преобразования импульсной характеристики. Для иллюстрации этого метода дискретизуем аналоговый фильтр с передаточной функцией вида

Непосредственное использование отображающей замены (4.50) дает

.

Фиг. 4.8. Амплитудная и фазовая характеристики аналогового фильтра.

Частотная характеристика аналогового фильтра определяется соотношением

.

На фиг. 4.8 представлены амплитудная и фазовая характеристики этого фильтра. Характеристики соответствующего цифрового фильтра для разных значений периода дискретизации  изображены на фиг. 4.9. Ясно, что при уменьшении  (т. е. при увеличении частоты дискретизации ) эффекты наложения могут оказаться пренебрежимо малыми и частотные характеристики аналогового и цифрового фильтров станут похожими друг на друга.