3.14. Несколько практических приемов использования окон

Ограничения метода взвешивания, рассмотренные в разд. 3.13, не препятствуют его широкому практическому применению. Обычно в каждом конкретном случае удается получить частное решение, однако всегда необходимо иметь в виду, что ограничения существуют, и понимать характер тех приближений, которые приходится делать, чтобы их преодолеть.

Чтобы определить невзвешенные коэффициенты Фурье в том случае, когда аналитическое выражение для  громоздко или неудобно для интегрирования, интеграл можно аппроксимировать суммой. Вместо вычисления  путем интегрирования на одном периоде функции  найдем приближенную последовательность  по формуле

                (3.57)

Фиг. 3.22. Частотная характеристика фильтра нижних частот с окном Кайзера.

Фиг. 3.23. Эффект размытия частотной характеристики за счет окна.

Здесь значения  рассчитываются в  точках . Ясно, что значения (3.57) можно эффективно вычислять с помощью -точечного обратного ДПФ последовательности . Поскольку формула (3.57) является дискретизованным аналогом формулы (3.56), легко показать, что значения  связаны со значениями  формулой наложения

                             (3.58)

Отсюда следует, что с ростом  различие между  и  уменьшается, особенно вблизи . Поскольку окно выделяет только  точек последовательности , должно выполняться условие .

Целесообразно остановиться на простом, но эффективном алгоритме для вычисления функции . Эту функцию можно разложить в степенной ряд

и вычислять (с заданной точностью) по следующей подпрограмме на ФОРТРАНе (представленной Кайзером):

В этой подпрограмме используются пять членов разложения при  и 25 членов при [ в операторе обращения к подпрограмме указывает на число членов, необходимое для вычисления  с заданной точностью].