2.4. Линейные системы с постоянными параметрами

Дискретная система по существу является алгоритмом преобразования одной последовательности (называемой входной) в другую (называемую выходной). Простое представление дискретной системы дано на фиг. 2.3. Входная последовательность обозначена через , а выходная — через . Функционально они связаны соотношением

,                   (2.9)

где вид оператора  зависит от свойств конкретной системы.

Линейная система определяется следующим образом. Если  и  — некоторые входные последовательности, а  и  — соответствующие им отклики линейной системы, то при подаче на вход последовательности  на выходе образуется последовательность  ( и  — произвольные постоянные).

Система с постоянными параметрами характеризуется тем, что если входной последовательности  соответствует выходная последовательность , то входной последовательности  при любых  соответствует на выходе последовательность .

Покажем теперь, что в линейной системе с постоянными параметрами входная и выходная последовательности связаны соотношением типа свертки. Допустим, что  — входная, а  — выходная последовательности ЛПП-системы, и пусть  — отклик системы на единичный импульс, [Последовательность  называют импульсной характеристикой системы или откликом на единичный отсчет.] Используя формулу (2.8),  можно записать в виде

                          (2.10)

Фиг. 2.3. Представление дискретной системы.

Фиг. 2.4. Представление линейной системы с постоянными параметрами.

Поскольку  является откликом системы на последовательность , а параметры системы постоянны,  будет откликом на последовательность . Из свойства линейности следует, что откликом на последовательность  должна быть последовательность . Поэтому отклик на  будет равен

                             (2.11а)

Он имеет вид свертки, что и требовалось доказать. Простой заменой переменных равенство (2.11а) может быть преобразовано к  виду

                             (2.11б)

Таким образом, последовательность  полностью описывает ЛПП-систему, что и отражено на фиг. 2.4.

На фиг. 2.5 показано, как процесс вычисления свертки осуществляется на практике. На фиг. 2.5, а изображена входная последовательность, отличная от нуля при . На Фиг. 2.5, б приведен пример импульсной характеристики , отличной от нуля при . На фиг. 2.5, в-е представлены  и  для  = 0, 2, 10 и 11. Очевидно, что при  и  последовательности  и  не перекрываются  равно нулю. На фиг. 2.5, ж приведена последовательность , являющаяся искомой сверткой.

Фиг. 2.5. К образованию дискретной свертки.