2.16. Свойства z-преобразования

z-преобразование весьма полезно при исследовании дискретных ЛПП-систем. Чтобы полностью использовать возможности z-преобразования, необходимо знать его основные свойства,связанные с линейностью, задержкой последовательностей, сверткой, перемножением последовательностей, задержкой физически реализуемых последовательностей.

1. Линейность

z-преобразование линейно. Это означает, что если  и  являются z-преобразованиями последовательностей  и , то при любых действительных  и  z-преобразование последовательности  равно .

2. Задержка

Если последовательность  имеет z-преобразование , то z-преобразование последовательности  при любых , равно . Это свойство z-преобразования особенно полезно при переходе от представления ЛПП-системы разностным уравнением к представлению ее z-преобразованием и наоборот. Например, разностное уравнение

                     (2.75)

можно представить z-преобразованием

                   (2.76)

или

                                                                (2.77)

где

Свойство, связанное с задержкой последовательности, использовано здесь для того, чтобы выразить z-преобразования последовательностей  и  через z-преобразование последовательности .

3. Свертка последовательностей

Если  и  являются входной и выходной последовательностями дискретной ЛПП-системы с импульсной характеристикой , то

,               (2.78)

где , и  являются соответственно z-преобразованиями последовательностей , и . Таким образом, операция свертки последовательностей приводит к перемножению их z-преобразований. Нетрудно заметить, что  можно выразить из соотношения (2.78) в виде

                                                                      (2.79)

Так, на примере уравнения (2.75) ясно, что , или, что то же самое, , может быть получена из разностного уравнения системы и наоборот. Для системы, описываемой уравнением (2.75),  имеет вид

               (2.80)

Не следует недооценивать важности равенства (2.78) как практического средства, позволяющего без вычисления свертки найти выходную последовательность системы по ее импульсной характеристике и входной последовательности. Рассчитывая отклик  путем перемножения двух преобразований и вычисления обратного преобразования, часто удается свести сложную задачу к более простой. В качестве примера рассмотрим входную последовательность , поступающую на вход ЛПП-системы с импульсной характеристикой , z-преобразования последовательностей  и  равны

Умножив  на , получим

Полагая, что, можно разложить  на простые дроби:

С учетом соотношения (2.72) получим

4. Перемножение последовательностей

Если последовательности  и  имеют z-преобразования  и , то последовательность  имеет z-преобразование

                           (2.81)

В область сходимости  входят все , для которых справедливо следующее условие: если некоторая точка  принадлежит области сходимости , то  принадлежит области сходимости . В формуле (2.81) контур интегрирования является замкнутой кривой, лежащей внутри пересечения областей сходимости функций  и .

Соотношение (2.81) называют теоремой о комплексной свертке, так как оно представляет z-преобразование произведения  в виде комплексной свертки z-преобразований соответствующих последовательностей. Воспользовавшись подстановками  и , выразим преобразование Фурье от произведения последовательностей через преобразования Фурье от каждой из них. Оно имеет вид

      (2.82)

и является широко известной сверткой двух преобразований Фурье. Это соотношение потребуется при рассмотрении проектирования фильтров методом весовых функций и анализе различных систем модуляции.

Важным следствием равенства (2.81) является так называемая теорема Парсеваля, связывающая энергию сигнала с энергией его спектра. Обобщенную форму этой теоремы можно получить, определяя последовательность  как

Из равенства (2.81) следует, что z-преобразование этой последовательности равно

Вычисляя  в точке , получаем

и, выбирая в качестве контура интегрирования единичную окружность (т. е. полагая), приходим к соотношению

Важный частный случай имеет место при, когда

Это равенство известно как теорема Парсеваля.

5.Задержка физически реализуемых последовательностей. Одностороннее z-преобразование

При решении большинства практических задач обычно имеют дело с физически реализуемыми последовательностями, поэтому полезно ввести «одностороннее» z-преобразование, определяемое как

                            (2.83)

При этом предполагается, что поведение последовательности  до точки  не известной его можно не учитывать. Для многих последовательностей свойства одностороннего z-преобразования аналогичны свойствам обычного z-преобразования. Основным исключением является свойство, связанное со сдвигом (задержкой) последовательностей. Рассмотрим, например, последовательность  с односторонним z-преобразованием  и задержанную последовательность . Одностороннее z-преобразование от  равно

             (2.84)

Положив , получим равенство

                              (2.85)

которое может быть переписано следующим образом:

         (2.87)

Задержка на один отсчет по-прежнему приводит к умножению одностороннего z-преобразования на , но при этом необходимо учесть значения последовательности  при , т. е. важную роль начинают играть начальные условия.

В качестве другого примера рассмотрим z-преобразование последовательности , равное

                           (2.88)

Из выражений (2.87) и (2.88) можно получить формулу для случая задержки последовательности на произвольное число  отсчетов . Она имеет вид

     (2.89)

причем