7.9. Свертка последовательностей

Нетрудно показать, что если последовательность равна двумерной свертке входной последовательности с импульсной характеристикой то ее z-преобразование равно произведению z-преобразований свертываемых последовательностей . Таким образом, справедливы следующие важные соотношения:

В качестве упражнения читателю предлагается доказать справедливость соотношения (7.37). Итак, при помощи формулы (7.37) отклик можно найти, вычислив обратное z-преобразование от произведения z-преобразований входной последовательности и импульсной характеристики . Приведем простой пример, иллюстрирующий применение этого метода:

Пример 4. На вход двумерного ЛПП-фильтра поступает последовательность

Импульсная характеристика фильтра равна

Найти выходную последовательность фильтра .

Решение. Найдем сначала z-преобразования последовательностей :

Используя соотношение (7.37), получим

Обратное z-преобразование можно найти по таблицам. Оно равно