2.2. Последовательности

Дискретные сигналы определяются лишь для дискретных значений независимой переменной  времени. Обычно время квантуется равномерно, т. е. , где — интервал между отсчетами. Математически дискретные сигналы представляются в виде непрерывной последовательности чисел. Для описания последовательностей может быть использовано одно из следующих обозначений:

              (2.1а)

         (2.1б)

             (2.1в)

          (2.1г)

Обозначения (2.1а) и (2.1в) могут применяться при неравномерном расположении отсчетов, тогда как (2.1б) и (2.1г) явно предполагают их равномерное размещение.

Последовательность может быть получена несколькими способами. Проще всего взять набор чисел и расположить их в виде последовательности. Например, числа  обрадуют «пилообразную» последовательность . Другой способ состоит в использовании некоторого рекуррентного соотношения. Например, равенство  с начальным условием  дает последовательность . Третий способ — взять равноотстоящие отсчеты непрерывного колебания и из их величин образовать последовательность, т. е. положить , где — интервал дискретизации. Обычно для получения последовательностей методом дискретизации непрерывных колебаний используют аналого-цифровые преобразователи (АЦП). [АЦП и цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП) рассматриваются в гл. 5.] Первые два метода получения последовательностей не связаны с временем, тогда как третий существенно от него зависит. Отсюда видно, что для описания последовательностей пригодны в том или ином смысле все обозначения (2.1).

Часто полезным и информативным является графическое изображение последовательностей. Для получения графического изображения в книге будут использованы два способа (фиг. 2.1). [В качестве типичного примера на фиг. 2.1 изображена последовательность ]. При использовании первого способа (фиг. 2.1, а )-й элемент последовательности изображается отрезком соответствующей длины, проведенным от оси абсцисс из точки . Во многих случаях нет смысла изображать каждую выборку, достаточно провести только огибающую последовательности, как показано на фиг. 2.1, б.

Ниже приведены (и графически изображены на фиг. 2.2) некоторые важные последовательности, часто используемые при цифровой обработке сигналов. На фиг. 2.2, а показан цифровой единичный импульс (или единичный отсчет) , который определяется следующим образом:

                                  (2.2)

В Дискретных системах этот импульс играет такую же роль, как аналоговый единичный импульс (или дельта-функция Дирака)  в аналоговых системах. Важное различие между ними состоит в том, что первый является физически реализуемым сигналом, тогда как второй рассматривается только как обобщенная Функция (или распределение). На фиг. 2.2, б изображен единичный импульс, задержанный на  отсчетов, который определяется как

                                        (2.3)

Фиг. 2.1. Способы графического представления последовательностей.

На фиг. 2.2,в представлен единичный скачок , задаваемый следующим образом:

                                (2.4)

Нетрудно показать, что единичный скачок связан с единичным импульсом соотношением

                                (2.5)

На фиг. 2.2, г и д изображены убывающая экспонента  и косинусоида , определяемые соответственно как

                                (2.6)

Фиг. 2.2. Некоторые важные последовательности, используемые при цифровой обработке сигналов.

и

 для всех                     (2.7)

Особенно важной последовательностью является комплексная экспонента . Поскольку эта последовательность является комплексной, для ее изображения необходимы раздельные графики вещественной и мнимой частей. Позднее мы увидим, что многие из вышеупомянутых последовательностей играют важную роль в теории цифровой обработки сигналов.