5.27. Оптимальное квантование коэффициентов

Анализ квантования коэффициентов, проведенный в предыдущих разделах, показывает, что процесс квантования по своему характеру является статистическим. Поэтому, сделав предположение о справедливости используемой модели, можно получить некоторые вероятностные оценки, характеризующие степень совпадения фактически получаемой и идеальной частотных характеристик фильтра. Такие оценки весьма полезны, так как с их помощью разработчик для широкого класса фильтров может найти число разрядов, необходимое для представления коэффициентов, даже не зная конкретных значений коэффициентов реального фильтра. Во многих случаях, однако, желательно оптимизировать значения квантованных коэффициентов таким образом, чтобы свести к минимуму некоторую величину, являющуюся оценкой характеристики получаемого фильтра.

Авенхаус и Шусслер в качестве такой величины предложили использовать отношение

где и — заданная и фактически получаемая (при использовании квантованных коэффициентов) частотные характеристики, а — функция допуска. Для фильтра нижних частот, например, функции можно определить следующим образом:

Авенхаус и Шусслер предложили для оценки характеристики реального фильтра использовать максимальное значение . Если не превышает 1,0, то считается, что характеристика фильтра не выходит за пределы заданного допуска. Если же то фильтр будет неприемлемым, так что разрядность коэффициентов фильтра необходимо увеличивать.

Авенхаус и Шусслер использовали процедуру оптимизации для определения квантованных коэффициентов на дискретном множестве значений по критерию минимизации Им удалось заметно улучшить характеристики фильтра по сравнению со случаем простого округления коэффициентов, которое описывается статистической моделью, рассмотренной в разд. 5.26. На фиг. 5.35 и 5.36 показаны частотные характеристики, а также расположение нулей и полюсов в z-плоскости для полосового эллиптического фильтра восьмого порядка. При 36-разрядных коэффициентах показатель качества фильтра равнялся 0,526054. При округлении коэффициентов фильтра до восьми разрядов (причем , а два остальных разряда использовались для представления знака и целой части, поскольку величина коэффициентов может достигать 2,0) получается, что емакс , т. е. фильтр оказывается неприемлемым. Наименьшее число разрядов, до которого можно было округлять 36-разрядные коэффициенты и при котором равно 11. Однако после оптимизации удалось найти набор 8-разрядных коффициентов, при котором . Таким образом, применение оптимизации дало выигрыш в три разряда по сравнению с простым округлением.

Фиг. 5.35. Влияние оптимизации коэффициентов фильтра на его частотную характеристику (по Авенхаусу и Шусслеру).

Фиг. 5.36. Расположение нулей и полюсов оптимизированного фильтра (по Авенхаусу и Шусслеру).

При сравнении результатов применения описанной методики для расчета различных вариантов построения фильтра возникают интересные ситуации. Поскольку в фильтре с неквантованными коффициентами значение емакс должно быть меньше 1,0 (иначе ни один из фильтров с квантованными коэффициентами не будет приемлемым), то величину всегда можно уменьшить, увеличив порядок фильтра и не меняя остальных его параметров.

Фиг. 5.37. Влияние квантования на частотную характеристику фильтра (по Авенхаусу и Шусслеру).

В связи с этим возникает вопрос, целесообразно ли повышать порядок фильтра с тем, чтобы уменьшить разрядность его коэффициентов (при этом исходное значение будет меньше), либо предпочтительнее использовать фильтр меньшего порядка. Подобная ситуация для случая эллиптического фильтра нижних частот иллюстрируется на фиг. 5.37. Восьмой порядок — это наименьший порядок, при котором фильтр еще удовлетворяет заданным требованиям. После оптимизации квантованных коффициентов оказалось, что для достижения необходимы 15-разрядные коэффициенты. Эллиптический фильтр 10-го порядка также удовлетворяет заданным требованиям, причем если разрядность коэффициентов равна 36. При округлении коэффициентов до девяти разрядов , но после оптимизации уменьшается до 0,605. Возникает вопрос, что лучше: фильтр из четырех блоков с 15-разрядными коэффициентами или фильтр из пяти блоков с 9-разрядными коэффициентами. Ответ на этот вопрос может быть дан только с учетом требований к быстродействию фильтра, величины допустимого шума округления, аппаратурных затрат на увеличение разрядности умножителей и т. д.