2.9. Частотная характеристика систем второго порядка

Разностное уравнение системы второго порядка можно записать в виде

                    (2.43)

[В общем случае уравнение второго порядка содержит также члены вида  и , однако для простоты изложения эти члены опущены.] Если снова ввести нулевые начальные условия  и , то нетрудно показать, что импульсная характеристика системы может принять одну из двух форм):

      (2.44)

где  и  — действительные числа, либо

             (2.45)

Импульсная характеристика вида (2.44) описывает две системы первого порядка и убывает как  и . Выражение (2.45) описывает систему второго порядка, импульсная характеристика которой является затухающей синусоидой. Импульсная характеристика имеет такой вид, когда коэффициенты разностного уравнения (2.43) удовлетворяют следующему условию:

                         (2.46)

Фиг. 2.11. Частотные характеристики нескольких систем второго порядка

из которого следует, что . Легко показать, что если условие (2.46) выполняется, то

                                      (2.47)

                     (2.48)

                                                   (2.49)

                                      (2.50)

Частотную характеристику, соответствующую импульсной характеристике (2.45), можно записать следующим образом:

         (2.51)

Амплитудные (в логарифмическом масштабе) и фазовые характеристики системы второго порядка, соответствующие фиксированному значению  и различным , приведены на фиг. 2.11. Из графиков видно, что такая система является простым цифровым резонатором.