4.5. Метод отображения дифференциалов

Один из наиболее простых методов дискретизации аналоговой системы заключается в замене дифференциалов в ее дифференциальном уравнении на конечные разности, что дает возможность получить разностное уравнение, аппроксимирующее исходное дифференциальное уравнение. Простейшая замена состоит в замене первого дифференциала на прямую или обратную разность. При этом дифференциальное уравнение (4.20) после дискретизации принимает вид

,                          (4.21)

где  — последовательность на входе цифрового фильтра,  — на его выходе, а -я разность  определяется соотношением

,                              (4.22)

причем

      (4.23)

Так, при использовании обратных разностей вторая разность  будет равна

  (4.23)

При любом отображении непрерывного пространства в дискретное должны выполняться следующие требования:

1. Ось  из -плоскости должна отображаться в единичную окружность на z-плоскости.

2. Точки из левой половины s-плоскости (для них ) после отображения должны располагаться внутри единичной окружности в z-плоскости (т. е. для отображенных точек ).

Выполнение первого требования позволяет сохранить (благодаря свойству равномерности отображения) селективные свойства аналоговой системы, а выполнение второго гарантирует, что получающаяся в результате отображения устойчивой аналоговой системы дискретная система также является устойчивой. Рассмотрим, насколько хорошо замена дифференциалов прямыми или обратными разностями позволяет удовлетворить сформулированным требованиям.

Обратные разности. При использовании обратных разностей производится следующая замена:

.                                         (4.25)

С точки зрения операторов преобразования она соответствует соотношению

,                                                  (4.26)

или

.                                                                           (4.27)

При  из формулы (4.27) следует, что

.    (4.28)

Запишем действительную и мнимую части :

,                                                                  

.                            (4.29)

Фиг. 4.5. Отображение оси  из -плоскости в z-плоскость для метода обратных разностей.

Таким образом, прямая  (при ) отображается на z-плоскости в окружность, уравнение которой имеет вид

.                                            (4.30)

Центр этой окружности (фиг. 4.5) находится в точке с координатами  а ее радиус равен 1/2. Видно, что все точки оси  из s-плоскости после отображения не попадают на единичную окружность в z-плоскости (за исключением области весьма малых значений ). Это означает, что первое из сформулированных выше требований не удовлетворяется. Проверим, выполняется ли второе требование. Для этого положим, что

,                                                                    (4.31)

где  и - действительные числа, причем . Тогда соотношение (4.27) принимает вид

,                                                                         (4.32)

откуда

                                                         (4.33)

Таким образом, при использовании обратных разностей устойчивый аналоговый фильтр будет отображаться в устойчивый цифровой фильтр, по избирательные свойства аналогового фильтра не будут сохраняться.

Прямые разности. При использовании прямых разностей производится следующая замена:

                                             (4.34)

для которой

,                                                          (4.35)

или

.                                                        (4.36)

Фиг. 4.6. Отображение оси из -плоскости в z-плоскость для метода напряженных разностей.

При  имеем

.                                        (4.37)

Контуры на -плоскости и -плоскости для рассматриваемого метода отображения показаны на фиг. 4.6. Видно, что первое требование, предъявляемое к отображениям, не удовлетворяется. Не удовлетворяется и второе требование, так как если

,                                                                    (4.38)

то

                                                              (4.39)

и

при .

Обобщенные разности. Более сложная методика дискретизации аналоговых фильтров, основанная па замене дифференциалов разностями, заключается в использовании разностей более высокого порядка для замены дифференциалов более низкого порядка. Положим, например, что первая разность  определяется вместо (4.23) следующим выражением:

,                    (4.39)

где  — порядок используемых разностей. Тогда соотношение между операторами, описывающее отображение s-плоскости в z-плоскость, будет иметь вид

.                          (4.41)

Докажем, что оно удовлетворяет первому требованию. Для этого покажем, что при  оператор  будет иметь  так что единичная окружность на z-плоскости будет результатом отображения оси  из s-плоскости. Подставив  в формулу (4.41), получим

                                         (4.42)

.                                       (4.43)

Выбрав соответствующим образом значения коэффициентов , можно добиться того, что функция  будет аппроксимировать практически любую заданную нечетную функцию от , так что ось  из s-плоскости будет монотонно отображаться в единичную окружность на z-плоскости. Кроме того, можно показать, что отображение, описываемое оператором (4.41), является конформным, поэтому точки левой полуплоскости  будут располагаться после отображения внутри единичного круга в z-плоскости, так что оба требования, предъявляемые к отображениям, будут удовлетворяться. Однако в связи с трудностями в определении коэффициентов , необходимых для выполнения отображения, а также из-за наличия более простых методов дискретизации аналоговых фильтров рассмотренный метод использования разностей более высокого порядка не нашел широкого практического применения.

Общие замечания о методе замены дифференциалов разностями. Достоинство метода замены дифференциалов простыми разностями заключается в том, что с помощью простых подстановок типа (4.26) или (4.35) можно от рациональной передаточной функции от  непосредственно перейти к рациональной передаточной функции от . Однако независимо от того, используются простые прямые или простые обратные разности, характеристики аналогового фильтра при этом не сохраняются, поэтому для дискретизации аналоговых фильтров обычно применяют другие методы.