2.12. Соотношение между непрерывными и дискретными системами

Как уже отмечалось, последовательность  часто получают путем дискретизации непрерывного колебания  с периодом  секунд. В этих случаях важно представлять, каким образом спектр последовательности  cвязан с преобразованием Фурье  непрерывного колебания . В данном разделе устанавливается связь между ними и обсуждаются следствия, вытекающие из нее.

Пара преобразований Фурье для непрерывного колебания  имеет вид

                                (2.59)

                    (2.60)

Аналогичные соотношения для дискретизованного колебания имеют вид

                                             (2.61)

    (2.62)

Поскольку  то можно связать  и , вычислив интеграл (2.60) для , причем интеграл с бесконечными пределами следует заменить бесконечной суммой интегралов на интервалах длиной . Таким образом,

    (2.63)

Изменив в (2.63) порядок действий и заменив  на , получим

                        (2.64)

Приравнивая подынтегральные выражения в (2.64) и (2.62), поручаем искомое соотношение

                            (2.65)

Фиг. 2.13. Связь между спектрами непрерывного и дискретизованного колебаний при правильном выборе частоты дискретизации.

Из этой формулы видно, что периодическая спектральная функция последовательности состоит из суммы бесконечного числа спектральных компонент непрерывного колебания. Если спектр непрерывного колебания ограничен по полосе диапазоном частот  т. е.  при , из соотношения (2.65) следует, что в диапазоне частот

                                              (2.66)

В этом случае спектр последовательности непосредственным образом связан со спектром непрерывного колебания (фиг. 2.13,а, б).

Фиг. 2.14. Эффекты наложения в спектре дискретизованного колебания при недостаточной частоте дискретизации.

Если же  не ограничен диапазоном  то соотношение между спектрами дискретизованного и непрерывного колебаний оказывается более сложным. Типичный пример показан на фиг. 2.14,а-в. Спектр непрерывного колебания (фиг. 2.14,а) ограничен полосой . Из формулы (2.65) следует, что члены с  дают вклад в  в диапазоне частот  (фиг. 2.14, б). Поэтому в отличие от предыдущего примера спектр последовательности (фиг. 2.14, в) связан со спектром исходного колебания значительно более сложным образом. Причина заключается в том, что частота дискретизации  была недостаточно большой и высокочастотные составляющие спектра  попали в область более низких частот в спектре . Такое смещение спектральных составляющих из одного диапазона частот в другой называют наложением спектров, а последовательность, соответствующую спектру фиг. 2.14, б,— представлением колебания  с наложением. Ясно, что наложения можно избежать, дискретизуя непрерывные колебания с достаточно высокой частотой.