7.17. Фильтры с частотной выборкой

Расчет двумерных фильтров методом частотной выборки основан на приведенных выше формулах прямого и обратного двумерного ДПФ. Рассмотрим фильтр с импульсной характеристикой конечной длины , заданной в прямоугольнике , z-преобразование которой равно

Вычисляя значения правой части (7.70) для дискретного набора частот

получим ДПФ импульсной характеристики фильтра

Нетрудно найти и обратное ДПФ:

Подставив выражение (7.74) в преобразование (7.70), получим следующую интерполяционную формулу для расчета частотной характеристики фильтра в произвольной точке:

Изменив порядок суммирования и просуммировав по получим

где

При расчете двумерных фильтров методом частотной выборки формула (7.76) является основной. Из этой формулы видно, что частотная характеристика фильтра, рассматриваемая как непрерывная функция частоты, представляет собой линейную комбинацию сдвинутых интерполирующих функций умноженных на коэффициенты ДПФ . Совокупность этих коэффициентов называют частотной выборкой, так как они дают значения частотной характеристики фильтра в равноотстоящих по обеим частотным осям точках.

При расчете фильтров методом частотной выборки большей части частотных отсчетов придают определенные значения, зависящие от вида аппроксимируемой частотной характеристики. Остальные, не задаваемые отсчеты являются свободными переменными, которые оптимизируются согласно выбранному критерию минимизации.

Для частного случая расчета методом частотной выборки фильтров с линейной фазовой характеристикой формулы (7.76) и (7.77) можно преобразовать, используя свойство симметрии коэффициентов ДПФ, описываемое соотношениями вида

причем

где

Если или четные, то должны выполняться дополнительные ограничения

Учитывая записанные выше условия, преобразуем формулы (7.76) и (7.77) к следующему виду (после довольно длинных выкладок):

где

Внешне громоздкая формула (7.87) состоит в основном из суммы простых интерполирующих функций, смещенных по частотам в соответствии со значениями . Эта формула (без учета стоящих в начале формулы множителей с линейным изменением фазы) и является основным расчетным соотношением при проектировании фильтров методом частотной выборки.

На фиг. 7.16 показано расположение областей частот на плоскости характерное для двумерного фильтра нижних частот с круговой симметрией.

Фиг. 7.16. Частотные области, характерные для фильтра нижних частот с круговой симметрией.

В области пропускания

Для переходной области

а для области непропускания

Частоты, на которых рассчитывается ДПФ (на них берется час тотная выборка), образуют в плоскости сетку из точек, как показано на фиг. 7.17 для . Чтобы рассчитать методом частотной выборки фильтр, аппроксимирующий идеальный фильтр нижних частот с характеристикой

Фиг. 7.17. Частотная выборка размером (9 X 9).

имеющей круговую симметрию, необходимо частотные отсчеты, попадающие в область пропускания, взять равными единице, а отсчеты, лежащие в области непропускания, приравнять нулю. Значения отсчетов, находящихся в переходной области, являются свободными переменными, которые следует выбрать согласно критерию минимизации.

Для упрощения уравнений и выкладок, связанных с минимизацией, будут использованы следующие предположения. Во-первых, будем считать, что и — равные нечетные числа. Во-вторых, допустим, что

т. е. что частотная характеристика фильтра симметрична относительно биссектрис углов, образованных осями координат. При расчете фильтров с круговой симметрией такое предположение является правомерным, так как в идеальном случае, когда ошибка аппроксимации равна нулю, условие (7.96) выполняется. И наконец, предположим, что член с линейной фазой в формуле (7.87) можно не учитывать.

В рамках сделанных предположений формулу (7.87) можно упростить, записав ее в виде

где описывает вклад, вносимый фиксированными единичными коэффициентами ДПФ; равно значению коэффициента ДПФ, попавшего в переходную область; М — общее число таких коэффициентов, а — интерполяционная функция, связанная с коэффициентом в переходной области. Теперь расчетные соотношения можно записать в виде

где — максимальная ошибка аппроксимации в области непропускания, а (где а — некоторая постоянная) — максимальная ошибка аппроксимации в области пропускания. Задача расчета фильтра заключается в таком выборе коэффициентов в переходной полосе, чтобы величина б была минимальной.

Нетрудно видеть, что эта задача представляет собой задачу линейного программирования с системой линейных неравенств типа (7.98) и (7.99), составленных для ряда точек, достаточно часто расположенных в области пропускания и в области непропускания. Запишем неравенства в явной форме:

Таким образом, критерий минимизации свелся к такому выбору значений при которых обеспечивается минимум .