7.13. Устойчивость БИХ-фильтров

Для проверки устойчивости БИХ-фильтров по двумерному z-преобразованию их импульсных характеристик было предложено несколько методов. Однако на практике их применение часто связано с трудностями и занимает много времени. Приводимая ниже теорема Шенкса представляет один из методов проверки устойчивости БИХ-фильтров.

Первая теорема устойчивости. Физически реализуемый БИХ-фильтр с z-преобразованием импульсной характеристики устойчив тогда и только тогда, когда при любых , для которых .

Доказательство. Пусть

Для того чтобы фильтр с импульсной характеристикой был устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы

Следовательно, требуется показать, что условие (7.49) выполняется тогда и только тогда, когда функция аналитична в области

Для доказательства достаточности заметим, что если аналитична в области , то всегда можно отыскать число такое, что аналитична в области

откуда следует, что сумма

является в области абсолютно сходящейся, так что

Для доказательства необходимости условия (7.49) заметим, что если

то по условию сходимости сумма

сходится в области D абсолютно, откуда следует, что функция является в области D аналитической.

Применение данной теоремы в практических ситуациях сопря жено с трудностями. Для проверки устойчивости необходимо единичный круг из плоскости (т. е. область отобразить на плоскость решив неявное уравнение относительно переменной . При этом фильтр будет устойчивым тогда и только тогда, когда отображение области на плоскость не пересекается с единичным кругом на плоскости

Итак, использование данного критерия устойчивости требует решения уравнения относительно для большого набора значений , что на практике почти всегда затруднительно (за исключением простейших случаев). В качестве примера использования сформулированного критерия устойчивости рассмотрим фильтр, имеющий z-преобразование импульсной характеристики вида

Фиг. 7.8. Контуры равных значений модулей корней уравнения в функции комплексной переменной (по Шенксу).

где

Подставив получим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами относительно :

Это уравнение легко решается, после чего по вышеприведенной теореме проверяется устойчивость фильтра. На фиг. 7.8 изображены контуры постоянных значений модулей корней уравнения в функции значений комплексной величины . Пример взят из работы Шенкса. Контуры, для которых не приведены, поэтому заштрихованная область является отображением [соответствующим уравнению внешней (по отношению к единичной окружности) части плоскости на плоскость . Так как заштрихованная область выходит за пределы единичного круга, то фильтр будет неустойчивым.

Существует упрощенный вариант рассмотренного критерия устойчивости (он получен Хуангом), требующий значительно меньшего объема вычислений.

Его можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Вторая теорема устойчивости. Физически реализуемый фильтр, имеющий z-преобразование импульсной характеристики вида , где А и В — полиномы, устойчив тогда и только тогда, когда:

1. Отображение области на плоскость , согласно уравнению целиком лежит внутри области .

2. Соотношение не отображает ни одной точки из области в точку

Доказательство теоремы здесь не приводится. Следствия из нее очевидны. Согласно этой теореме, достаточно рассмотреть отображение только для окружности и, кроме того, решить уравнение , чтобы определить, имеет ли оно корни с модулем, превышающим единицу.

Существуют и другие, еще более совершенные методы проверки выполнения сформулированных выше критериев устойчивости фильтров, но здесь они рассматриваться не будут. Поскольку (если не на практике, то по крайней мере теоретически) устойчивость двумерного фильтра может быть проверена, то более важными вопросами являются следующие: как найти коэффициенты заведомо устойчивого фильтра с заданной частотной характеристикой и каким образом превратить неустойчивый фильтр в устойчивый, не исказив при этом его амплитудной характеристики? Ответов на вопросы в большинстве случаев нет.

Частичное решение второго вопроса, связанного со стабилизацией неустойчивых фильтров, было получено Шенксом. Пусть — передаточная функция неустойчивого фильтра. Чтобы получить аппроксимацию этой функции, соответствующую устойчивому фильтру, найдем сначала полином аппроксимирующий функцию с минимальной среднеквадратической ошибкой и имеющий вид

где а и b — целые положительные числа. Допустим, что

Тогда из всех полиномов порядка (а, b) полином будет аппроксимировать функцию с минимальной среднеквадратической ошибкой, если сумма

будет минимальна.

Фиг. 7.9. Амплитудные характеристики неустойчивого фильтра и его устойчивой аппроксимации (----), полученной методом двойного обращения (по Шенксу).

Теперь найдем многочлен аппроксимирующий функцию с минимальной среднеквадратической ошибкой. Согласно Шенксу, фильтр с передаточной функцией

является устойчивым, причем его амплитудная характеристика приблизительно совпадает с характеристикой исходного фильтра. На фиг. 7.9 в качестве примера изображены полученные Шенксом амплитудные характеристики неустойчивого фильтра и фильтра, «стабилизированного» методом двойного обращения с использованием критерия минимума среднеквадратической ошибки. Контуры постоянного уровня амплитудных характеристик В и В, показанные на рисунке, отличаются весьма незначительно друг от друга.