3.40. Непосредственное сравнение различных КИХ-фильтров нижних частот

В данной главе были рассмотрены три класса методов расчета цифровых КИХ-фильтров: взвешивания, частотной выборки и оптимальным. Несмотря на существование большого числа способов сравнения получаемых фильтров, возможно, самый объективный (и самый полезный) состоит в сравнении значений ширины переходных полос фильтров нижних частот, необходимых для удовлетворения заданных требований к пульсациям в полосе пропускания  и в полосе непропускания . При таком сравнении лучшими будут оптимальные фильтры, поскольку из всех КИХ-фильтров с линейной фазой при одинаковых заданных параметрах именно они обладают минимальной переходной полосой. Полезно, однако, знать, насколько хуже фильтры, рассчитанные другими методами.

Фиг. 3.86, Сравнение фильтров нижних частот, рассчитанных методами взвешивания, частотной выборки и оптимальным (по критерию минимаксной ошибки).

На фиг. 3.86 сравниваются фильтры с окнами Кайзера, с частотной выборкой и с дополнительной пульсацией. Для сравнения используется величина , изображенная в функции  с величиной  в качестве параметра, поскольку, как было показано выше, она практически не зависит от  (при больших ) и от  и, таким образом, удобна для сравнения. Как и ожидалось, из фиг. 3.86 следует, что фильтры с дополнительной пульсацией обеспечивают наименьшую ширину переходной полосы () при фиксированных значениях  и .

ЛИТЕРАТУРА

Весовые функции

1.  Kaiser J. F., Design Methods for Sampled Data Filters, Proc. First Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 221—236 (Nov. 1963).

2.  Kaiser J. F., Digital Filters, Ch. 7 in: System Analysis by Digital Computer, Kuo F. F., Kaiser J. F., eds., Wiley, N. Y., 1966; есть русский перевод гл. 7 Д. Кайзера «Цифровые фильтры» в книге: Голд Б., Рэйдер Ч., Цифровая обработка сигналов, изд-во «Советское радио», 1973.

3.  Blackman R. В., Tukey J. W., The Measurement of Power Spectra, Dover Publications, N.Y., 1958.

4.  Heyliger G. E., The Scanning Function Approach to the Design of Numerical Filters, Report R-63-2, Martin Co., Denver, Colo., April 1963.

5.  Heyliger G. E., Design of Numerical Filters: Scanning Functions and Equal Ripple Approximation, Proc. Fourth Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 175—185 (1966).

6.  Heyliger G. E., Halijak C. A., Topics in the Design of Moving Average Numerical Filters, Proc. Second Asilomar Conf. on Circuits and Systems, 214—220 (1968).

7. Helms H. 1)., Nonrecursive Digital Filters: Design Methods for Achieving Specifications on Frequency Response, IEEE Trans. Audio and Electro- acoustics, 16, No. 3, 336—342 (Sept. 1968).

Фильтры e частотной выборкой

1 Gold В., Rader С. M., Digital Processing of Signals, McGraw-Hill, N. Y., 1969; есть русский перевод: Голд В., Рэйдер Ч., Цифровая обработка сигналов, изд-во «Советское радио», 1973.

2  Gold В., Jordan К., A Note on Digital Filter Synthesis, Proc. IEEE, 56, No. 10, 1717—1718 (Oct. 1968); есть русский перевод: Гоулд, Джордан мл., О синтезе цифровых фильтров, ТИИЭР, 56, № 10 (1968).

3  Gold В., Jordan К., A Direct Search Procedure for Designing Finite Duration Impulse Response Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics,

No. 1, 33—36 (March 1969).

4  Rabiner L. R., Gold В., McGonegal C. A., An Approach to the Approximation Problem for Nonrecursive Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, 18, No. 2, 83—106 (June 1970).

5  Rabiner L. R., Steiglitz K., The Design of Wide-Band Recursive and Non- recursive Digital Differentiators, IEEE Trans, on A udio and Electroacoustisc, 17, No. 2, 204—209 (June 1970).

6.  Rabiner L. R., Schafer R. W., Recursive and Nonrecursive Realizations of Digital Filters Designed by Frequency Sampling Techniques, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, 19, No. 3,200—207 (Sept. 1971).

7.  Rabiner L. R., Schafer R. W., Correction to Recursive and Nonrecursive Realizations of Digital Filters Designed by Frequency Sampling Techniques, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-20, No. 1, 104—105 (March 1972).

Оптимальные фильтры

1.   Rabiner L. R., Techniques for Designing Finite-Duration Impulse Response Digital Filters, IEEE Trans, on Communication Technology, 19, No. 2, 188-195 (1971).

2.  Herrmann O., Design of Nonrecursive Digital Filters with Linear Phase, Electronics Letters, 6, No. 11, 328—329 (1970).

3.  Herrmann O., Schuessler H. W., Design of Nonrecursive Digital Filters with Minimum Phase, Electronics Letters, 6, No. 11, 329—330 (1970).

4.  Helms H. D., Digital Filters with Equiripple or Minimax Responses, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, 19, No. 1, 87—94 (1971).

5.  Hofstetter E., Oppenheim A., Siegel J., A New Technique for the Design of Nonrecursive Digital Filters, Proc. Fifth Annual Princeton Conf. on Information Sciences and Systems, 64—72 (1971).

6.  Hofstetter E., Oppenheim A., Siegel J., On Optimum Nonrecursive Digital Filters, Proc. Ninth Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 789— 798 (Oct. 1971).

189—  Parks T. W., McClellan J. H., Chebyshev Approximation for Nonrecursive Digital Filters with Linear Phase, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-19, 189-194 (March 1972).

8.  Rabiner L. R., The Design of Finite Impulse Response Digital Filters Using Linear Programming Techniques, Bell Syst. Tech. /., 51, No. 6, 1177—1198 (July —Aug. 1972).

9.  Rabiner L. R., Linear Program Design of Finite Impulse Response (FIR) Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-20, No. 4, 280-288 (Oct. 1972).

10.  Parks T. W., McClellan J. H., A Program for the Design of Linear Phase Finite Impulse Response Digitall Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-20, No. 3, 195—199 (Aug. 1972).

11.  Parks T. W., Rabiner L. R., McClellan J. H., On the Transition Width of Finite Impulse Response Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 1, 1—4 (Feb. 1973).

12.  Rabiner L. R., Herrmann O., The Predictability of Certain Optimum Finite Impulse Response Digital Filterss, IEEE Trans, on Circuit Theory, CT-20, No. 4, 401—408 (July 1973).

13.  Herrmann O., Rabiner L. R., Chan D. S. K., Practical Design Rules for Optimum Finite Impulse Response Lowpass Digital Filters, Bell Syst. Tech. J., 52, No. 6, 769—799 (July — Aug. 1973).

14.  Rabiner L. R., Hermann O., On the Design Optimum FIR Low-Pass Filters with Even Impulse Response Duration, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 4, 329—336 (Aug. 1973).

15.  Rabiner L. R., Approximate Design Relationships for Low-Pass FIR Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 5, 456-460 (Oct. 1973).

16.  Rabiner L. R., Schafer R. W., On the Behavior of Minimax Relative Error FIR Digital Differentiators, Bell Syst. Tech. /., 53, No. 2, 333—361 (Feb. 1974).

17.  Rabiner L. R., Schafer R. W., On the Behavior of Minimax FIR Digital Hilbert Transformers, Bell Syst. Tech. /., 53, 2, 363—390 (Feb. 1974).

18.  McClellan J. H., Parks T. W., Rabiner L. R., A Computer Program for Designing Optimum FIR Linear Phase Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 6, 506—526 (Dec. 1973).

Линейное программирование

1.  Dantzig G., Linear Programming and Extensions, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1963.

2.  Hadley G., Linear Programming, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Mass., 1963.

3.  Ни Т. C., Integer Programming and Newtork Flows, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Mass., 1969.

4.  Spivey W. A., Thrall R. M., Linear Optimization, Holt, Rinehart and Winston, Inc., N.Y., 1970.

5.  Gass S. I., Linear Programming, McGraw-Hill, N.Y., 1969.

6.  Simonnard M., Linear Programming, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1966.

Методы оптимизации

1.  Cheney E. W., Introduction to Approximation Theory, McGraw-Hill, N. Y., 1966.

2.  Rice J. R., The Approximation of Functions, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Mass., 1964.

3.  Aoki M., Introduction to Optimization Techniques, The Macmillan Co., N. Y., 1971.

4.  Meinardus G., Approximation of Functions: Theory and Numerical Methods, Springer-Verlag, N. Y., 1967.

5.  Ремез E. Я., Общие вычислительные методы чебышевского приближения. Задачи с линейно входящими вещественными параметрами, Изд-во АН УССР, Киев, 1957.