3.39. Расчет фильтров при одновременном ограничении и во временной, и в частотной областях

До сих пор рассматривался расчет цифровых фильтров, аппроксимирующих лишь заданные частотные характеристики. Довольно часто приходится вводить ограничения одновременно и для временной, и для частотной характеристик фильтра. Например, при проектировании фильтров нижних частот может возникнуть необходимость ограничения выброса (или пульсаций) переходной характеристики фильтра при одновременном сохранении в разумных пределах его частотной характеристики. Задачу такого типа можно решить методами линейного программирования, поскольку переходная характеристика представляет собой линейную комбинацию коэффициентов импульсной характеристики.

В качестве примера рассмотрим расчет фильтра нижних частот вида 1, удовлетворяющего следующим требованиям:

полоса пропускания:                                                          (3.154)

полоса непропускания                                              (3.155)

переходная характеристика: .      (3.156)

Здесь величина  определяет область, в которой переходная характеристика, определяемая выражением

                                      (3.157)

колеблется около нуля. Ясно, что  равна линейной комбинации коэффициентов импульсной характеристики фильтра, поэтому система ограничений (3.154)—(3.156) может быть решена методами линейного программирования. Например, можно зафиксировать какие-либо один или два параметра из трех () и минимизировать оставшиеся (или оставшийся) либо принять, что ,  и , где  и  — константы, и минимизировать одновременно все три параметра, отыскивая минимум .

Фиг. 3.84. Переходная и частотнаятрсарактерпстики оптимального фильтра нижних частот без ограничении во временной области.

Фиг. 3.85. Переходная и частотная характеристики оптимального фильтра нижних частот с ограничениями во временнбй области.

Фиг. 3.84 и 3.85 иллюстрируют применение этого метода. На фиг. 3.84 приведены переходная и частотная (в логарифмическом масштабе) характеристики фильтра нижних частот вида 1  для которого было принято , а величина  минимизировалась. Параметр  был взят равным 1, т. е. выброс переходной характеристики никак не ограничивался. Рассчитанный фильтр имел следующие параметры: ,  и . На фиг. 3.85 приведены переходная и частотная (в логарифмическом масштабе) характеристики еще одного фильтра, у которого минимизировалась величина  при  и . (Максимум пульсаций переходной характеристики задан здесь только для 10 первых отсчетов, т. е. там, где характеристика колеблется около нуля.) Параметры этого фильтра оказались равными ,  и . Из фиг. 3.85 видно, что требования к пульсациям переходной характеристики удовлетворены за счет того, что пульсации частотной характеристики перестали быть равновеликими. Используя методы линейного программирования, можно найти компромиссное решение, удовлетворяющее требованиям и к временной, и к частотной характеристикам, и рассчитать фильтр, наилучшим образом подходящий для конкретных условий.